über von Geraden und Ebenen begrenzten Minimaldoppelflächen. 15 



Die Gleichungen einer Minimallcurve sind folgende, wobei nur die Glieder der hnchsten 

 und niedrigsten Ordnung in den Ausdrücken der Koordinaten angefuint werden, 



x = --:-^ + (^-\)'S,(d)'' 



p+1^ ' "^" ' p+i ' 



\p+l ^'jp + ll 



i P — f 



^ = 2 -+ {-l)'S,{d) — 



\ p p 



Die Ordnung der Minimallvurve ist 2(p+l), und da die beiden zusammenfallenden 

 Minimalkurven 2{p + \) Punkte im Unendlichen gemein halben, wird die Ordnung der FUichc 



0' = 0/ + l)(2p+l). 



Die Gleichungen der Tangente einer Minimalkurve sind 



I (1 - s^) 5 + / (1 + s^) »? + 2.H + 2/-(.v) = 0, 



wo f{s) eine F'unktion bezeichnet, deren dritte Ableitung %{s) ist. Aus der Form der Funktion 

 f{s) (siehe (15) s. 13) geht hervor, dass die -Lee'sche Zahl il/ gleich 1 ist. Das Glied vom höch- 

 sten Grade in f{s) hat den Exponenten p-\-l und das Ghed vom niedrigsten Grade den 

 Exponenten — ji>+l. Der ßang der Minimalkurve ist folghch 2;>-l-2 und (\\e Klasse der Mini- 

 malfläche wird 



C' = 2p + 1. 



Die oben angegebene Form ( 1 ü) der FunMion g- (s) liefert demnach, unter Voraussetzung 

 dass die Bedingungen einer algebraischen Doppelfläche erfüllt sind, die Doppelflächen von allen 

 ungeraden Klassen, mit der fünften beginnend. 



Die oben entwickelte Darstellung hat ein Minimalflächenstück gegeben, das zu einer 

 Doppelfläche gehört und durch eine aus zwei Elementen bestehende Begrenzung geht. Die 

 Abbildung des Flächenstückes auf die s-Ebene ist ein Winkel von der Grösse «1^7- = - welcher 

 tblglich immer ein ahquoter Teil von ^ ist. Wenn l eine gerade Zahl ist, so wird das Flächen- 

 stück von zwei gleichartigen Elementen begrenzt (d. h. von geraden Linien, wenn C eine rein 

 imaginäre Konstante ist, und von ebenen Krünniiungskurven, wenn C reell ist). Wenn l eine 

 ungerade Zahl ist, so wird das Flächenstück von zwei ungleichartigen Elementen begrenzt. Die 

 Ordnungszahl beider Ecken ist gleich — ^ , und die beiden Eckenwinkel haben die Grösse 





Um schliesslich die endgültige Form von 'iy{s) darzustellen mögen folgende Fälle unter- 

 schieden werden: 



N:o 8. 



