Herstellung automorpher. Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 7 
Behält U im Ringgebiete (X, K’) dasselbe Vorzeichen, z.B. das positive, so kann aus 
dieser Tatsache eine für die folgende Entwickelung wichtige Folgerung mit Hilfe des Har- 
nack’schen Prinzips abgeleitet werden. Es sei P ein ganz beliebiger Punkt auf der Kreis- 
linie X, und U(P) der Wert von U in diesem Punkt. Dann besteht folgender Satz: 
IL Ist U eine im Kreisring (Ky K') positive, reguläre und eindeutige Potentialfunktion, 
die auf Ky verschwindet, so giebt es eine von der speziellen Auswahl der Funktion U unabhän- 
gige Zahl q« 1, die so beschaffen ist, dass 
1 U(P) 1 r 
log I =. loss 
(3) 2 Sr RONDE Er 
an. Ov 
Weil nämlich U in dem ganzen Kreisring (X, X’) ihr Vorzeichen behält, so ist nach 
dem Harnack'schen Prinzip auf der ganzen Kreislinie K, 
qU(P «UU 
wo g(<1) von U unabhàngig ist. Aus diesen Ungleichungen folgt durch Integration 
q U (P) M EE LES P) 
und daher 
se | vas 2 | Udo 
a zT; K, U (P) 1 Bun 
Ten AE o m = 
1 oU IN MOT q jen Gin 
De TS d x] = d 6 om JU ROS dc 
Ko Ko Ko 
woraus schliesslich auf Grund von (2), die Ungleichungen (3) folgen. 
4. Der Satz Il giebt unmittelbar Anlass zu folgendem Konvergenzsatz: 
+ 
II Es se 
(4) U EURE 
eine zunehmende Reihe von Potentialfunktionen, die sämtlich auf der Kreislinie K, verschwinden 
und in dem Kreisring (K, K") positiv, regulär und eindeutig sind. Dann ist die notwendige und 
hinreichende Bedingung für die Konvergenz dieser Reihe, dass die ebenfalls zunehmenden Zahlen 
: MEL EL 1 fou, 
(5) 9x E Div do Je "Em do< = rel Er do <: 
unterhalb einer endlichen Grenze bleiben. 
Findet Konvergenz statt, so verschwindet die Grenzfunktion 
U —limU, 
= 
N:o 2. 
