8 SEVERIN JOHANSSON. 
auf der Kreislinie K, und es ist auf dieser Linie 
Der erste Teil des Satzes folgt unmittelbar aus dem Satz II. Denn nach dem Har- 
nack’schen Prinzip konvergiert oder divergiert die Reihe (4) jenachdem die Zahlen 
(6) U (Py Us (P) esee cU (Py e. 
unterhalb einer endlichen Grenze liegen oder ins Unendliehe wachsen. Aus dem Satz II folgt 
aber, dass die Reihen (5) und (6) gleiehzeitig unterhalb einer endlichen Grenze bleiben oder 
ins Unendliche wachsen. 
Wenn nun die Reihe der Funktionen U, gegen eine Grenzfunktion U — lim U, konver- 
n — coo 
giert, so ist diese Funktion U im Innern von (K, K’) eine reguläre eindeutige Potential- 
funktion. Bilden wir jetzt diejenige Potentialfunktion e, die auf K, verschwindet und auf der 
Kreislinie X, die Werte von U annimmt, so ist im Kreisring (K, K;) die Funktion e 7 U, 
und also in demselben Gebiet ®>U. Diese Beziehung besagt, dass die Werte von U gegen 
Null herabsinken, wenn wir uns der Kreislinie K, nähern. 
Ist nun K' das Spiegelbild von Æ’ in Bezug auf die Kreislinie K,, so sind bekanntlich 
die Potentiale U, und U, weil sie längs Æ, verschwinden, in den Bereich (K' K,) fortsetzbar, 
wobei jede dieser Funktionen in zwei durch die Spiegelung zusammenhörenden Punkten ent- 
gegengesetzte Werte aufweist, und in dem Bereich (K' K") regulär und eindeutig ist. 
Ist s beliebig klein, so können wir sicher n, so gross wählen, dass für n >», auf 
der Kreislinie X, 
(7) D see; 
daraus folgt, dass auf der durch Spiegelung von K, entstandenen Kreislinie X, 
(8) DURE 
ist. Die Ungleichungen (7) und (8) besagen, dass in dem ganzen Kreisring (K, Ki) 
DU -— |'<e, 
oder anders ausgedrückt, dass die Potentiale U, in dem ganzen Bereich (X, K,) gleichmässig 
gegen U konvergieren. 
Da K, eine innere Kurve dieses Bereiches ist, so folgt, dass längs dieser Kurve die 
; : oU : Ae end... 
Grenzfunktion U eine normale Ableitung hat und dass as; gleichmässig in ER übergeht. 
Vv 
Hiermit ist der Satz III vollständig bewiesen. Aus dem letzten Ergebnis können 
wir schliessen, dass 
o [ 
Ko 
CU Sr | Fras, 
Qv n- o Ett 
eine Gleichung, die bei der folgenden Untersuchung oft zur Anwendung kommt. 
. Tom. XLI. 
