Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 9 
5. Wir beweisen weiter folgende Sätze über Wertschwankungen von Potentialen. 
IV. Es seien K,, K, und K' drei konzentrische Kreise mit den Radien ry — r, — r'. 
Weiter sei W eine im Kreisring (Ky, K') incl. Ky und K' reguläre und eindeutige Potentialfunktion, 
die auf K, verschwindet und deren Werte auf K' den Mittelwert Null haben, so dass 
I ar E 
zh Wd o —0 
x 
Ist dann D,,W die Schwankung von W auf der Kreislinie K', so besteht auf der Kreislinie K, 
die Beziehung 
> 8 Fr. 
7| Ee 
(10) |W Xu De W. arctg ze 
Wir bezeichnen mit W eine Potentialfunktion, die für die ganze Kreisfläche X’ erklärt 
ist und auf der Kreisperipherie X’ mit W übereinstimmt. Diese Funktion hat dann im Mit- 
telpunkt den Wert 
EZ 
der nach unserer Voraussetzung gleich Null ist. Folglich hat diese Funktion auf jeder mit 
unseren Kreisen konzentrischen Kreislinie innerhalb X’ sowohl positive als negative Werte. 
Nach einem bekannten Satz!) über Potentiale, die in einer Kreisfläche regulàr sind 
und in dem Kreismittelpunkt verschwinden, können wir schliessen, dass auf der Kreislinie X, 
IW zt ,W. arotg = - 
oder, weil D, W=D, W ist, dass 
4 r 
IW = - 1 
(11) WX „DW. arg > 
Die Funktion W—W verschwindet auf der Peripherie von K’, weil W und W daselbst 
dieselben Randwerte haben. Auf der Peripherie von K, ist W — 0, woraus folgt, dass die 
Werte von W—W daselbst mit — W übereinstimmen. Wir können aus dieser Tatsache den 
Schluss ziehen, dass der maximale Wert von | W—W | im Kreisring (X, K’) sicher nicht grösser 
ist als der maximale Wert von |W| auf dem Rand von K,. Dieser maximale Wert ist 
seinerseits kleiner als der maximale Wert von |W| auf der Kreislinie K,. Also ist nach (11) 
für alle Punkte im Kreisring (X, K') und infolgedessen auch für alle Punkte auf der Kreis- 
linie K, 
(12) W—W|< * DW. arctg 3 
1) Vgl. Harnack: Das logarithmische Potential S. 65. Ernst Lindelüf: Mémoire sur certaines inégalités 
dans la théorie de fonctions monogènes et sur quelques propriétés nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d'un 
point singulier essentiel pg. 16 Acta Societatis Scientiarum Fennicae, Tom. XXXV, N:o 7. 
N:o 2. . 3 
