Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 13 
Es sei nämlich « eine in 2, reguläre Potentialfunktion, die auf allen Kreislinien X a ver- 
schwindet. Weiter sei auf den innerhalb 2, liegenden Teilen der Peripherie des Kreises mit 
dem Radius A 
u | Le, 
wo lim s" —0. Dann ist unmittelbar klar, dass die Funktion « identisch Null sein muss. 
= o 
Ist nämlich P ein beliebiger Punkt von 2, so ist |w(P) | « a) sobald der Punkt innerhalb 
des Kreises mit dem Radius R^ liegt. 
Diese Tatsache können wir auch so aussagen: Eine innerhalb 2, regulüre und eindeu- 
tige Potentialfunktion, die auf allen Kreisen Ki” verschwindet und deren Werte gleichmässig gegen 
Null sinken, wenn wir uns der Peripherie des Einheitskreises nähern, ist identisch Null. 
Die Green'sche Funktion //,(n;7,) des Bereiches 2,. 
9. Innerhalb des Bereiches 2, nehme ich einen beliebigen Punkt P(y). Mit der Green’- 
schen Funktion U, (9; 0) des Bereiches 2, verstehe ich eine in 2, positive Potentialfunktion, 
die auf allen Randkreisen Rn verschwindet, deren Werte in dem oben festgelegten Sinn 
gleichmässig gegen Null herabsinken, wenn wir uns der Peripherie des Einheitskreises nähern, 
und die innerhalb 2, regulär ist ausser in dem Punkt P, wo aber 
U, (25 70) — log DEN 
regulär ist. Durch diese Festlegung ist die Funktion U, (n;70), falls sie überhaupt existiert, 
eindeutig bestimmt, was unmittelbar aus dem Satz in 8 hervorgeht. 
Um die Existenz der Funktion U,(7; #0) zu beweisen, bilden wir zu dem Bereiche 
am die Green’sche Funktion | 
(21) U ? (o; m). 
M Ei À E À 
Weil jede Begrenzungslinie von 2/^ ebenfalls in der Begrenzung von 2°*" vorkommt, so 
ist innerhalb QU +? 
a 70) QD... 
Ugo ae): 
Folglich bilden die Potentiale um (2559) (4— 1, ,-- -) eine abnehmende Reihe. 
Ist nun a eine so kleine positive Grósse, dass der Kreis mit P als Mittelpunkt und a 
als Radius ganz innerhalb 2, liegt, so ist ersichtlich für alle Werte von 4 innerhalb dieses 
Kreises 
a 
EB 
n 5 90) > log en 
Folglich konvergieren nach dem Harnack’schen Prinzip die Potentiale u (7 ; 70) gleichmässig 
gegen eine Grenzfunktion 
(22) U, (7 3%) = lim UP (7:40. 
N:o 2. 
