14 SEVERIN JOHANSSON. 
Die Funktion U, (7 ; %) ist dann genau unsere gesuchte Funktion. Erstens folgt näm- 
lich, dass 
1 
U, (7 ; 90) — log —— —— 
Hn (n No g | N Eur No 
im Punkte P regulär ist. Weiter ist fär jeden Wert von 4 und 4' und fär alle Punkte von of EC 
Ua) > U P 7), 
und also für jeden Punkt von ©, und für jeden Wert von 4 
(23) | UD (y qu) 2 U, Us). 
Aus dieser Beziehung aber folgt, dass U,(5;7,) auf allen Randkurven ON von 2, verschwin- 
det. Weiter folgt aus dem Umstande, dass Um (7 ; %) auf der Peripherie des Einheitskreises 
verschwindet, dass die Werte von U, (y :%) auf den innerhalb 2, liegenden Teilen der Kreise 
mit den Radien R” unbegrenzt gegen Null abnehmen, wenn Ro gegen eins zunimmt. 
10. Die hiermit definierte Green'sche Funktion U, (7:%) des Bereiches 2, hat nun 
eine Reihe von Eigenschaften, die wir im Folgenden benutzen. 
Erstens kónnen wir nach unserem vorbereitenden Satz III unmittelbar schliessen, dass 
die Funktion U, (7 ; 70) längs jeder Kreislinie À i9 regulàre normale Ableitungen hat und dass 
IL 
|, OU,@im), m, LO iq) 5 
co dv n° KO dv 
2 a 2 . 2 : 
Weil 2 ein Teil von 2? , ist, so folgt, dass 
OR ‚a: 20) > Of (23; No) 
för jeden Wert von 4 und fär den Bereich QUE Also ist für jeden Bereich 2, 
U, 41 (5 %0) ZU, (0; 19). 
Kàme das  Gleichheitszeichen in einem einzigen Punkt zum Vorschein, so würden die 
beiden Funktionen nach dem Gauss’ischen  Mittelwertsatz überhaupt identisch  inner- 
halb 2,. Das ist aber nicht möglich, denn U, , , (y; 0) nimmt auf allen Kreisen Ks positive 
Werte an. Also ist 
(24) U, ,1( ;%0) > U, (m; 9), 
und die Potentiale U (7590) («= 1,2,---) bilden eine zunehmende Reihe. 
Weil die Potentialfunktion 
| 1 
| 
U (4 ; 49) = log —— : | 90 
17 —% | 
Tom. LXI. 
