Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 15 
die Green’sche Funktion des Einheitskreises mit dem Pol z, darstellt, so ist für jeden Wert; 
von À und « innerhalb Q9 
U (2:3) > Us (m; 0) 
und also innerhalb 2, 
(25) Un; 4) > U, (9; mo). 
Die Beziehungen (24) und (25) besagen, dass die Potentiale U, a) (um 159, re) 
gleiehmüssig gegen eine Grenzfunktion konvergieren. Diese Grenzfunktion ist dann anfäng- 
lich erklärt für alle von den Punkten PC verschiedenen Punkte des Einheitskreises, und ist 
mo 
nach (25) da, wo sie erklärt ist, nirgends grösser als U (5:7. Da aber die Punkte E iso- 
liert liegen und die Grenzfunktion in der Umgebung jedes derselben unterhalb einer endlichen 
Grenze liegt, so ist bekanntlich die Grenzfunktion auch in diesen Punkten regulàr und somit 
eine innerhalb des ganzen Einheitskreises eindeutig erklärte harmonische Funktion, die nur 
im Punkt P unstetig wird wie log— — und übrigens in keinem Punkt die Werte von 
17 — Ho 
U (7:70) überschreitet. Aus diesem Umstande aber folgt, dass die Werte der Grenzfunktion 
gegen Null herabsinken, wenn wir uns der Peripherie des Einheitskreises nähern. Folglich 
ist die Grenzfunktion einfach die Green’sche Funktion des Einheitskreises mit dem Pol 2%, d. h. 
1 
Min 
lim U, (m; 90) = U (7 ; 90) = log —" 
PE ei 
| %o |- 
11. Wir wollen noch einige für die folgende Entwickelung wichtige Schlüsse ziehen. 
Weil U (7; 70) die Green'sche Funktion des Bereiches 2” ist, so folgt, dass 
TUNES do—=2# 
(4) ^ 
LL 
[ OU (m; 70) 
Q 
| : Aa. A 2 - DEN 
ist, wo die Integration über die volle Begrenzung von 2 zu erstrecken ist, op die in der 
Richtung der inneren. Normale genommene Ableitung bedeutet und do das Bogenelement der 
Begrenzungslinie ist. Weil alle Integralelemente positiv sind, so folgt hieraus, dass 
UD) vo 
QU, m) do “2x 
Vr) Qv ien 
ga) K, 
n 
ist, wo das Integral über jeden in der Begrenzung von OM eingehenden Kreis Ke Zu er- 
strecken ist und die Summe sämtlicher so entstandener Integrale zu berechnen ist. 
: A . 5 . 
Weil nach (23) U, (m ; 70) < Ut" (m; 70) innerhalb 9 ist, so folgt, dass wenn KY" in 
2 ANG : > À Ue : 
Begrenzung von 9) vorkommt und X ein mit XA? konzentrischer Kreis ist, dessen Peri- 
fi 
N:0 2: 
