16 SEVERIN JOHANSSON. 
pherie im Inneren von QU liegt, der Mittelwert von U, (7; #) auf der Peripherie von K klei- 
ner ist als der Mittelwert von Ux (7; %) auf derselben Kreislinie. Aus dieser Tatsache folgt 
nach dem vorbereitenden Satz I, dass auf der Kreislinie K(^ 
und also schliesslich, dass 
OU, (y ; %) V 1 0 UC (n i qp) 
ER LITE BE TE AT . 
> lun Qv de Ci ko Qv dd; 
Q0) 
da aber die Summe rechts kleiner ist als 2s, so folgt, dass ebenfalls die linke Seite kleiner 
als 2 ist. Da die somit gewonnene Ungleichung für jeden Wert von 4 gilt, so kann hieraus 
geschlossen werden, dass 
; QU (ni) |. . 
(26) D AT 07 - do «9s 
QR 
ist. 
Es treten uns hier schon zwei Móglichkeiten entgegen, die bei der folgenden Unter- 
suchung eine grundlegende Spaltung bedingen. Es giebt zweierlei Arten von Bereichen 9, 
und also zweierlei Typen von Hauptkreisgruppen; diejenigen, für welche 
J d U . 
» | 20 (43 m) do < 27% 
Jio dv 
y [Imus 
(0) dv 
& 
K 
n 
und solche, bei denen 
Ik 
: ; x : . C : € ; , ! 0 
ist. Dass diese Einteilung eine wesentliche ist und nicht etwa von der Auswahl von K? 
und z, abhängt, wird sich im Folgenden ergeben. Wir wollen den ersten Fall den hyper- 
bolisehen und den zweiten den parabolischen Fall nennen. 
12. Schliesslich wollen wir noch folgende Eigenschaft unserer Funktion U, (y; o) her- 
vorheben. 
Wenn wir auf 2, eine beliebige unserer Substitutionen S ausführen, so geht 2, in 
sich über oder wird also auf sich selbst abgebildet. Lassen wir bei dieser Abbildung den in 
jedem Punkt vorkommenden Wert unserer Green’schen Funktion mitfolgen, so bekommen wir 
über 2, eine neue Verteilung dieser Werte, die dann eine neue Funktion definiert, nämlich 
die Funktion 
U (ST y : %o). 
uu 
Tom. XLI. 
