18 SEVERIN JOHANSSON. 
über!) und wir erhalten somit 
[ AU, (q; S qp) hos OU, (x ; 90) 
mj] _, 
"gps do. 
SER: K 
Le 1 
Diese Beziehung gilt für jede Substitution S. Lassen wir S alle Substitutionen von I durch- 
laufen, so erhalten wir rechts alle Glieder der Reihe in (26); also ist 
. Oe) QU 2) 
(29) Y | QU (sS nm > ; uu. dc 2m, 
5 2| xo 0v à K e) ) 
ft 
wo das obere Zeichen im hyperbolischen, das untere im parabolischen Fall zum Vorschein kommt. 
Das Potential W, (7 : no). 
13. Wir betrachten jetzt sämtliche Funktionen 
U, (7; Sn) WENIG 
d.h. alle Green'sche Funktionen von 2,, deren Pole ein System aequivalenter Punkte bilden. 
Wir behaupten, dass die Summe aller dieser Potentiale 
(30) > U, (7 SK 40) 
konvergiert. 
Wir betrachten deshalb die Summe 
o=N 
n * U, (n; Sn), 
e=0 
wo N eine beliebige positive ganze Zahl bedeutet. Mit wachsendem N bilden ersichtlich die 
Potentiale W' eine zunehmende Reihe. 
Das Potential Wf? verschwindet auf allen Kreislinien K^, K1P,-... Weiter ist 
LN 
f OM S3 [ OU, (m; S9 no) 
——— dg -— MU EE do 
IU e=0 ‘x, 
und also nach (29) 
o Ww 
') Sind nämlich zwei Gebiete auf einander konform abgebildet und ist u eine Funktion in dem ei- 
nen Gebiete und w' diejenige Funktion in dem anderen, die durch die Transformation hervorgeht, so ist be- 
ñ 4 21" 
kanntlich pu do= au 
dv Qv' 
und »' die entsprechenden Elemente in dem zweiten Bereich bedeuten. 
do' wo da ein beliebiges Bogenelement, v die Richtung der Normale desselben und do’ 
Tom. XLI. 
