Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 19 
oder 
1 d wi 
c HAST IJI Grec Ule 
2m xD TE 
Nach unserem vorbereitenden Satz III folgt aus der letzten Ungleichung, dass die Potentiale 
Wm mit wachsendem N gleichmässig gegen eine Grenzfunktion W, (2:n) heranwachsen. 
Folglich konvergiert die Reihe (30). 
Die hiermit gewonnene Funktion 
; N il 
(31) W, (9 ; %o) = > U, (2 Nee 70) — N Un (s? "m 20) 
e 2 
ist, wie aus ihrer Definition unmittelbar hervorgeht, automorph im Bezug auf die Gruppe T. 
Wenn wir nämlich 2, dureh eine Substitution unserer Gruppe I in sich transformieren, so 
wird nur die Reihenfolge der Glieder in (31) geàndert. Da aber die Summe lauter positive 
Glieder enthält, so bleibt dabei der Wert der Summe unverändert. Ist also 5 die betreffende 
beliebige Substitution der Gruppe 7, so ist 
W, (S 9 ; 49) — W, (1; 9. 
Da die Grenzfunktion nm (7;5) nach dem vorbereitenden Satz III auf der Kreisperi- 
pherie K verschwindet, so folgt aus ihrem automorphen Charakter, dass sie auf allen 
Kreisen KO verschwindet. Innerhalb 2, ist sie positiv und regulär ausser in den Punkten 
S'm, wo sie unstetig wird wie log - HE 
qj — SO % 
Weiter ist ebenfalls nach dem Satz III 
(31°) 
9 W, (y ; m) joe OU, (2; 80), 
Satur c] er o) 2 
dv 
Le pn 
und also nach (29) 
oW (m ; %o) 
D E SOMME US aen 9 
(32) NT a do <2x, 
I 
wobei dann das Gleichheitszeichen im parabolischen Fall auftritt, während im hyperbolischen 
Fall das Ungleichheitszeichen zum Vorschein kommt. Schliesslich ist, weil W, (m; yy) in Bezug 
auf I automorph ist, der Wert des Integrals 
oW (m; 
„(9 5 90) ar 
KO dv 
von e unabhängig und also im parabolischen Fall = 2: und im hyperbolischen Fall < 2 v. 
N:o 2. 
