20 SEVERIN JOHANSSON. 
Bedeutet X einen um den Nullpunkt als Mittelpunkt geschlagenen Kreis, dessen 
Radius Be so gewählt ist, dass der Kreisring (KK) ganz dem Bereich 9 
dann ist nach unserem Mittelwertsatz 
„ angehört, 
1 t ad | 9 W, (m; %) 
ser Gin) d og „Dam dv Pon 
K A Rx 
In dem parabolischen Fall ist also 
1 Pa 
(33) IR a W, (q ; %o) de = log i» 
K 
Hn 
während im hyperbolischen Fall 
5 1 " r 
(33') Im | W, (7; 70) de < log KS 
K n 
14. Weil naeh (24) 
Ur mss mU mtn 
so folgt, dass i 
W, 4015: > W, 15 m). 
Folglich bilden die Funktionen LA (9 ; %) (9 — 0, 1,:-:) eine wachsende Reihe positiver 
Potentiale. Es wird sich im Folgenden zeigen, dass diese Reihe im hyperbolischen Fall 
gegen eine Grenzfunktion konvergiert, während sie im parabolischen Fall über alle Grenzen 
hinauswächst. Um dies aber zu beweisen, müssen wir zeigen, dass unsere Falleinteilung von 
w und 7, gänzlich unabhängig ist, oder also, dass die zur selben Gruppe I gehörenden Be- 
reiche 2, entweder alle vom hyperbolischen oder alle vom parabolischen Typus sind. Das 
zeigen wir dadurch, dass wir unsere Falleinteilung mit von w und 7, unabhängigen Grössen 
der Gruppe I in Verbindung bringen. 
Das Potential V, (7). 
15. Um das oben skizzierte Problem zu lósen, wollen wir eine neue Potentialfunktion 
einführen. 
4 4 - Eu j 1 2 4 
Es seien 4 und e so gewählt, dass K,? in der Begrenzung von 2” auftritt. Dann 
bezeichne ich mit V ? (o, K ©) eine Potentialfunktion, die innerhalb où regulàr und eindeutig 
ist, auf der Peripherie von KS den Wert eins annimmt und auf allen übrigen Rand- 
kurven von am verschwindet. Die Werte dieser Funktion innerhalb OC liegen dann ersicht- 
lich zwischen 0 und 1. 
Die Potentiale 
F À KO 
(34) Vu, Et) 
Tom. XLI. 
