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und behaupten, dass diese Summe von positiven Potentialen konvergiert. Es genügt nach 
dem Harnack’schen Prinzip zu zeigen, dass sie in einem einzigen Punkt konvergiert. Wählen 
wir als diesen Punkt gerade z, und lassen N eine beliebige positive ganze Zahl sein, so - 
ist nach (36) 
ON o=N E 
: i. ANS " AU (qq) 
ag Y (o Segen CPS 30/01. 
(38) 2 ANS 2 Jo 0% 
Da aber der rechts stehende Ausdruck für jeden Wert von N kleiner ist als 1, so ist die 
Konvergenz der Reihe (97) im Punkt 7, und also die Konvergenz überhaupt sichergestellt. 
Wir schreiben jetzt 
S RE 
(39) V, (= » AGE) =Y VS Re) 
e [4 
und haben für diese Funktion sogleich die Formel 
1 " OU, (7; %) 
eee 1 aed 
QU, 
oder (vergl. die Formeln (31') und (29)) 
MON PACE TL) 
(40) Ar be m "as 
Aus der Definition von y (4) oder also aus der Gleichung (39) geht unmittelbar hervor, 
dass V,(y) in Bezug auf die Gruppe T automorph ist. Übrigens ist die Funktion V, (7) auf 
allen Randkreisen K/? von 2, gleich eins. Da in (38) der rechts stehende Ausdruck un- 
abhängig von 7, immer kleiner als eins ist, so folgt, dass V, (7) innerhalb 2, überhaupt keine 
Werte annimmt, die grósser sind als eins. Weiter ist M (4) > 0 innerhalb 9, . 
Aus der Formel (40) können wir schliessen, dass sich V, (7) in unseren beiden Fällen 
ganz verschieden verhält. 
Liegt nämlich der parabolische Fall vor, so ist in (40) der rechts stehende Ausdruck 
genau gleich 1, woraus erhellt, dass V, (49) = 1 ist. Daraus folgt nach dem Gauss'ischen 
Mittelwertsatz, dass V, (y) überhaupt identisch gleich eins ist. Das besagt wieder, dass die 
für unsere Falleinteilung wichtige Summe in (26) von z, gänzlich unabhängig und immer 
gleich 2 ist. 
Ist 2, vom hyperbolischen Typus, so ist das Integral in (40) kleiner als 2: und 
also V, (mv) << 1. In diesem Fall ist also V, (y) sicher keine Konstante, weil V, (y) auf allen 
Randkreisen K/? gleich eins ist. 
17. Die hiermit vollständig definierte Potentialfunktion Uo (4) kann auch durch einen 
anderen für die folgende Entwickelung wichtigen Grenzübergang hergestellt werden. | 
Wir führen deshalb eine neue Funktion V (a) ein durch die Gleichung 
rna Nr. x0 
" ()— Y vi (m; Kr), 
(4) 
g, 
Tom. XLI. 
