Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 2 
wo die Summe über alle in der Begrenzung von (RU vorkommenden Kreise mU ausgedehnt 
ist. Diese Funktionen VE (9) bilden ersichtlich mit wachsendem 2 eine zunehmende Reihe; 
wir wollen zeigen, dass diese Reihe gleichmässig gegen die Funktion V, (7) heranwächst. 
Vor allen Dingen müssen wir dann beweisen, dass V.P) an keiner Stelle von 2, die 
Funktion V, (y) überschreitet. Wir betrachten deshalb die Funktion 
Va) — Vi? m 
und nehmen an, dass diese Funktion in einem innerhalb 2, liegenden Punkt z' den negativen 
Wert — 6 hat. Weiter wählen wir eine positive Grösse " so dass e — 6 ist. 
Die Funktion pe (a) ist ersichtlich eine für den ganzen Bereich Q (und also auch 
für den ganzen Bereich 2,) erklärte Potentialfunktion, die auf der Peripherie des Einheits- 
kreises verschwindet und auf den in der Begrenzung von où vorkommenden Kreislinien KS 
gleich eins ist. Innerhalb D ist sie regulär und zwischen Null und eins enthalten. 
Aus diesen Eigenschaften der Funktion ns (n) folgt, dass wir eine Grösse r so fest- 
legen können, dass z' « r-« 1, dass weiter alle der Bedingung r< 7|-1 genügende Punkte 7 
dem Bereich am angehören und dass in diesen Punkten yon (4) «s ist. Nachdem wir 
r so festgelegt haben, denken wir uns in den zwischen der Peripherie des Einheitskreises 
und der Peripherie des Kreises mit dem Radius r um den Nullpunkt liegenden Kreis- 
ring eine geschlossene, sich selbst nicht schneidende Kurve C derart niedergelegt, dass 
sie den Nullpunkt umschliesst und in ihrer ganzen Ausdehnung innerhalb 2, liegt. Dann 
liegt 7’ innerhalb dieser Kurve. Weil weiter überall innerhalb 2, die Funktion p (q) 2 0, 
während auf dieser Kurve C die Funktion V, HE e ist, so folgt, dass auf der Kurve C 
(41) V, (9) — V? (7) > — s. 
Die Kurve C schneidet aus dem Bereich 2, einen endlich vielfach zusammenhängenden 
Bereich aus. Dieser Bereich wird ausser von der Kurve C von den innerhalb C liegenden 
Kreislinien Ke begrenzt. Auf allen diesen Kreislinien ist V,(y)— 1, während VO (y) auf 
keiner derartigen Kreislinie eins überschreitet. Folglich ist auf allen diesen Kreisen 
(42) V, (y) — VO (s) > 0. 
Weil die Funktion V, (m) — VO (y) in dem eben genannten Bereich regulär ist, so folgt 
aus (41) und (42), dass die Beziehung (41) überall innerhalb des Bereiches gültig ist. Da nun 
aber z' diesem Bereich angehört, so ist also auch — 6 > — & oder s 7» e. Da dies aber im 
Widerspruch mit der Feststellung s «^ e steht, so können wir schliessen, dass die Funktion 
V () — V? (7) an keiner Stelle von 2, negativ sein kann. 
Den Wert 0 kann sie auch nicht annehmen, denn dann wäre sie identisch Null, und 
es gilt somit für den ganzen Bereich 2, die Ungleichung 
(43) V, (9) 2» VO (9) 
für jeden Wert von 4. 
N:o 2. 
