28 SEVERIN JOHANSSON. 
gleichzeitig mit der Reihe 
9 =» 1 
(56) » jp 
E | So (0) 
konvergieren oder divergieren. 
Da die Reihen (55) durch Weglassen des ersten Gliedes log E —log 2 2s 
0 Mo D 
aus den Reihen (48) und (49) hervorgehen, kónnen wir den Satz aussprechen: Im hyperbo- 
lischen Fall konvergiert die Reihe (56), im parabolischen Fall dagegen ist die Reihe (56) 
divergent. 
Nun ist 
1 1 | gle 
O. m 
5 [SO (0) | log | FOI 
6 (0 
o (9 log ^ 1 
Weiter ist lim |—; |— 1 und also lim —— — 3: Daraus folgt, dass die Reihe (56) 
e=»|y SER | 5@ |? 2 
y9 
gleichzeitig mit der Reihe 
Te 12 
a 
Æ 0 
konvergiert oder divergiert. Weil | 0? |? — | ,/|? —1, so ist aber limone 1 ne , und 
rf Y 
wir kónnen folglich unseren obigen Satz auch folgendermassen aussprechen: 
Im hyperbolischen Fall konvergiert die Reihe 
e—=x 
1 
IG | me» 
c 
während sie in dem parabolischen Fall divergiert. 
Hiermit haben wir unsere Falleinteilung an Bedingungen angeknüpft, die von w und 
4. gänzlich unabhängig sind und die nur noch von der Eigenart der Gruppe I abhängen. 
Folglich gelten alle oben gefundenen Unterschiede zwischen den beiden Fällen ganz unab- 
hängig von w und 2%. 
Den oben gefundenen Satz können wir in einer anderen Form ausdrücken. Weil die 
(0) 
Punkte — EM alle ausserhalb des Einheitskreises im Endlichen liegen, so kónnen wir mit dem 
Nullpunkt als Mittelpunkt einen so grossen Kreis ziehen, dass sie alle in dem von der Peri- 
pherie dieses Kreises und der des Einheitskreises eingeschlossenen Kreisring liegen. Es sei R 
der Radius des genannten Kreises. Weiter sei r« C 1. Dann ist für || <r 
o? 
Bar TEE Les 
oder 
Tom. LXI. 
