Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 29 
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Diese Ungleichungen besagen, dass die Reihen 
e = 00 
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innerhalb des Einheitskreises gleichzeitig konvergieren oder divergieren. 
Unser Satz bringt uns also in enge Verbindung mit den von Poincaré eingeführten 
Fuchs’schen 0-Reihen. Wir können den Satz nunmehr folgendermassen aussprechen: 
In dem hyperbolischen Fall konvergieren die Poincaré'schen 0- Reihen (— 2):ter Dimen- 
sion, wührend sie in dem parabolischen Fall divergieren !). ) 
Weil 
SEL 
= Jr der 
lag 
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so folgt, dass der Umfang von Lord gleich dem Ausdruck 
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RI +00] 2 
yo Ten 
ist. Aus den obigen Ungleichungen folgt also der Satz: 
In dem hyperbolischen Fall konvergiert die Summe der Umfünge aller Kreise KO 
in dem parabolischen dagegen divergiert diese Summe. 
20. Nachdem wir hiermit unsere Falleinteilung in Verbindung mit wesentlichen Eigen- 
schaften der Gruppe I gebracht haben, ist es uns nunmehr möglich die auf der S. 20 auf- 
geworfene Frage nach der Konvergenz der Potentiale W, (4; no) (« — 0, 1, ---) vollständig 
zu erledigen. 
Wir betrachten deshalb zuerst den parabolischen Fall. 
Wir hatten mit Hilfe unseres Mittelwertsatzes in diesem Fall die Gleichung ab- 
geleitet ?) 
1 
gar re 
r 
TE 
p ) 
I 
W, (q; %) de — log 
Diese Beziehung gilt nun ganz unabhängig von w und z, X ist ein fester Kreis um den 
Nullpunkt als Mittelpunkt, dessen Radius grósser ist als sámtliche Tu 
Aus dieser Beziehung lesen wir ab, dass der Mittelwert von W,(7; no) auf 
der Peripherie von K mit wachsendem wu über alle Grenzen wächst. Daraus folgt aber, 
weil alle "n (7: 90) in einer von & unabhängigen Umgebung der genannten Peripherie regulär 
!) Vgl. die Abhandlung des Verfassers: Zur Theorie der Konvergenz der Poincare’schen Reihen bei den 
Hauptkreisgruppen. Öfversigt af Finska Vetenskaps-Societetens Förhandlingar, Bd. LIII 1909—1910. Afd. A N:o 15. 
2?) Vgl. S. 20. Gleichung (33). 
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