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sind, nach dem Harnack'schen Prinzip genau so wie in dem vorbereitenden Satz III, dass die 
Werte der Funktionen W, (7; no) in jedem beliebigen Punkt dieser Peripherie und also über- 
haupt in jedem Punkt über alle Grenzen wachsen. Folglich haben wir den Satz: 
In dem parabolischen Fall divergiert die Reihe der Potentiale W, (75 70) (n —0, 1,-- -). 
Wir gehen jetzt zu dem Ayperbolischen Fall. 
Wir hatten auf S. 15 die Green'sche Funktion des Einheitskreises U (7; 79) betrachtet 
und gefunden, dass U'(g; y) > U, (7; %) ist. Daraus folgt, dass U (y; go 19) > U, (9; SO 7) 
und also 
AR pe. [uU a; Sn) 
Weil aber U(0; S'” #7) = log Pr ee so ist 
(Se 
57 jog de ma. L [v (7; S? 5) dc. 
(57) [SÖ «1^ 2er de 
In dem vorliegenden Fall konvergiert die Reihe (56). Aus der Konvergenz von (56) 
kónnen wir aber nach dem Harnack'schen Prinzip schliessen, dass die Reihe 
(58) Lv TU 
überhaupt in jedem für alle Glieder regulàren Punkt konvergiert. Also konvergiert dann auch 
diese Reihe für 7 = 7. 
Wenn wir nun in (57) über alle S summieren, so bekommen wir die Ungleichung 
0 —oo 
1 1 
Y 1 gl. frei nae. 
e=0 i Sn, 2m! 
K 
Da die linke Seite in dieser Ungleichung eine von wu völlig unabhängige endliche Zahl ist, 
so folgt, dass die Mittelwerte von Ba; 70) auf X unterhalb einer endlichen Grösse 
bleiben, wenn # über alle Grenzen wächst. Daraus lässt sich in schon gewohnter Weise 
schliessen, dass die Funktionen W, (7; 70) gleichmässig konvergieren. Also haben wir den Satz: 
In dem hyperbolischen Fall konvergiert die Reihe der Potentiale W, (m; 70) (vu — 0,1, **-) 
gleichmässig gegen eine Grenzfunktion 
W (n; m) = lim WE (95 No). 
u = re) 
Weil die Reihe 
Q — a 
Y vais 70) 
e—=0 
nach der obigen Entwickelung im Nullpunkt konvergiert, so konvergiert sie überhaupt. Aus 
der Ungleichung U (y; S? 7) > U, (7; S' s) folgt, dass 
Tom. XLI 
