32 SEVERIN JOHANSSON. 
und also 
e—N 
Wr; m) > > Ua; Sq): 
0=0 
Da die linke Seite und s gänzlich von der Auswahl von N unabhängig sind, so 
folgt, dass 
e= © 
(61) Wr; 9) > D Var; 89 70) 
0=0 
sein muss. 
Aus den Beziehungen (59) und (61) können wir schliessen, dass im Punkt 7’ die ver- 
langte Gleichung (60) besteht. Aus (59) folgt aber mit Hilfe des Gauss’ischen Mittelwertsatzes, 
dass die Gleichung dann überhaupt in jedem Punkt bestehen muss. 
Wenn wir die Ergebnisse des hyperbolischen Falles zusammenstellen, können wir fol- 
genden Satz aussprechen: 
In dem hyperbolischen Fall konvergieren die Funktionen 
e= x 
W, (2; 9) = D U, (7; S® 7) =0 1,---) 
0—0 
gleichmässig gegen eine Grenzfunktion W (y; no) und es ist 
0 — o0 
W (7; 4) = DUT S mo) - 
9—0 
Die Grenzfunktion W (y; no) ist dabei eine zur Gruppe I gehörende automorphe Potentialfunktion, 
die in den Punkten S' s, (p — 0, 1,---) unstetig wird wie log 780° in allen übrigen 
| "m L 0 | 
innerhalb des Einheitskreises liegenden Punkten regulär und eindeutig ist und lauter positive 
Werte annimmt. 
Das Potential W, (2; m, 7). 
Lösung des Problems im parabolischen Fall. 
22. In dem hyperbolischen Fall haben wir durch die obige Überlegung unser Problem 
in einem über die Anforderung hinausragenden Sinn gelöst; in dem parabolischen Fall sind 
wir bis jetzt zu einem negativen Resultat gekommen. 
Ist nun 7, ein von 4, verschiedener Punkt innerhalb 2,, so setze ich 
W, (73 9], )=W,(n; m) -W,@; m) 
und bekomme dadurch eine Potentialfunktion, die wiederum auf allen Kreisen Ko 1,::-) 
verschwindet, in allen Punkten S? ;7,(o — 0, 1,---) unstetig wird wie log und 
17 —S 0m | 
in allen Punkten S® 7, unstetig wie log :7— #87, |; im übrigen ist die Funktion innerhalb 
2, regulär und eindeutig und geht bei allen Substitutionen der Gruppe I in sich über. 
Tom. XLI. 
