Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 33 
In dem hyperbolischen Fall konvergiert die Reihe der Funktionen W, (y; 90, m) 
(u — 0, 1, ...) gleichmässig gegen die Grenzfunktion 
W (q; 9s, )=W (4; m) — W (y; m). 
Für diese Grenzfunktion besteht dabei die Entwickelung 
0 -—0 
W(7; 7, 7) = > (Un; SO qj) — U (n; SO m3); . 
e=0 
Hiermit ist das Problem im hyperbolischen Fall vollständig erledigt, denn die Grenzfunk- 
tion erfüllt alle Anforderungen unseres Problems. 
93. Wir wollen nun zeigen, dass auch im parabolischen Fall die Reihe der Funktio- 
nen W, (7; %, 7) gleichmàssig konvergiert. Deshalb müssen wir tiefer in die Natur des 
parabolischen Falles eindringen. 
Zuerst beweisen wir folgenden Satz: 
Auf der Peripherie von K nimmt die Potentialfunktion W, (7; 90, 91) in dem parabo- 
lischen Fall sowohl positive als negative Werte an. 
K bedeutet dabei wieder einen mit kn konzentrischen Kreis, dessen Radius r > r x ist. 
Wir hatten nämlich gefunden, dass im parabolischen Fall 
1 
2er 
i » 
[We Gi m dem 08 T 
K D 
Da diese Relation von der Lage von #% völlig unabhängig ist, so ist auch 
1 r 
AT HOT ENS 
K [ 
Aus diesen Gleichungen folgt, dass 
1 . 
(62) ER | W, (qu; 4,7) do — 0. 
K 
Da der links stehende Ausdruck der Mittelwert von W, (m; 90, m) auf K ist, so besagt die 
Gleichung (62), dass die Funktion LE (7; %, #1) auf der Peripherie von Æ sowohl positive 
als negative Werte annimmt, q. e. d. 
Ich denke mir jetzt, dass 2, und 7, innerhalb desselben Kreises x’, liegen, dessen 
Inneres ganz dem Bereiche 2, angehört. Aus x’, entstehen durch Ausübung der Substitutio- 
nen S? Kreise x,, die sämtlich innerhalb 2, liegen und die Punkte SO 7, und S'? 7, im Inneren 
enthalten. Ich denke mir z, und n, so gewählt, dass wir x’, so klein nehmen können, dass 
die Kreise x, keine Punkte gemeinsam haben. Wenn ich alle Kreisflächen x, aus 2, ent- 
ferne, entsteht ein Bereich, den ich ©, nenne. 
Innerhalb 2, sind nun die Funktionen W, (n; m), W, (y; m) und W, (7; 70, m) reguläre 
Potentiale, die auf allen Kreisperipherieen Ki) verschwinden; auf allen Kreisen x, nimmt 
jedes der genannten Potentiale genau dieselbe Wertreihe an. Wir beweisen jetzt folgen- 
den Satz: 
N:o 2. 2 
