34 SEVERIN JOHANSSON. 
Ist b, der grösste Wert von W, (n; m) auf #. so besteht in dem ganzen Bereich *, die 
Ungleichung W, (9, no) < bo: 
Dieser Satz folgt unmittelbar aus der Definition von W, (y; #). Ist nämlich N eine - 
beliebige positive ganze Zahl, so besteht innerhalb 2, und also auch innerhalb 2, die Un- 
gleichung 
(0) 
W, (y; m) > > U,(n; S^ no). 
e —0 
Insbesondere folgt hieraus, dass auf allen Randkurven x, 
o=N 
(63) y m; 8" ay) < bs. 
e=0 
Die links stehende Summe sinkt gleichmässig gegen Null, wenn wir uns der Peripherie des 
Einheitskreises nähern. Ist also € << b,, so können wir R(< 1) so gross wählen, dass die be- 
trachtete Summe in dem ausserhalb des Kreises mit dem Radius A liegenden Teil des Ein- 
heitskreises kleiner ist als s. Ist nun C eine diesem Teil angehórige geschlossene Kurve, 
die den genannten Kreis einschliesst, so ist auf dieser Kurve die betrachtete Summe kleiner 
als «. Dasselbe gilt ausserhalb der Kurve C. 
Wir denken uns die Kurve C so gezogen, dass sie die Kreise Kr und x, weder 
schneidet noch berührt. Dann bildet derjenige Teil von 2’,, der innerhalb C liegt, einen von 
endlich vielen Randkurven begrenzten Bereich. Da nach den obigen Überlegungen die 
Summe in (63) auf allen diesen Randkurven kleiner ist als b, und innerhalb des Bereiches 
regulär ist, so folgt unmittelbar, dass die Summe in dem ganzen Bereich kleiner ist als by. 
Da die Summe in (63) ebenfalls ausserhalb C kleiner ist als b,, so folgt dass in dem 
ganzen Bereich 2, die Ungleichung (63) besteht. 
Da weiter diese Ungleichung für alle Werte von N gilt, so ist die Grenzfunktion 
W,(n; m) der linken Seite in (63) innerhalb 2°, nicht grösser als by, womit der Satz bewie- 
sen ist. 
Wenn wir mit b, den grössten Wert von W, (m; 7) auf x, bezeichnen, so gilt analog 
die Ungleichung W, (y; m) < b, innerhalb des Bereiches 92",. Daraus folgt aber ohne weiteres 
folgender Satz: 
In dem ganzen Bereich ©, besteht die Ungleichung |W, (y; 9, 4) | Ebo d- bi. 
24. Nachdem wir uns jetzt davon überzeugt haben, dass | W, (y; 90, 7) | innerhalb 2°, 
endlich bleibt, beweisen wir folgenden Hilfssatz, der nur im parabolischen Fall gültig ist: 
Wenn eine harmonische Funktion w folgende Eigenschaften hat: 
lo @ ist regulär innerhalb ©, 
2:0 daselbst ist |w|< M, wo M eine endliche Grösse ist, 
3:0 auf allen Randkreisen x, und 1 von Q' nimmt e Werte an, die nicht unterhalb 
Null sinken, 
dann ist » in keinem Punkt von ©, kleiner als Null. 
Tom. XLI. 
