Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 35 
Wir führen deswegen die Funktion 
S au M yo ) 
SETT a M 
ein !), wo À beliebig ist, und wollen anfänglich aus unseren Voraussetzungen den Schluss zie- 
hen, dass diese Potentialfunktion e' innerhalb e nirgends negativ wird. 
Aus der Annahme |o | — M folgt, dass ex >0 innerhalb e ist. Weil auf allen 
Kreisen KV und x, die Relation w>0 stattfindet, während daselbst RAT ist, so folgt, 
dass auf den genannten Randkreisen © > 0. 
Wenn nun o' in einem innerhalb 9", liegenden Punkt »' einen negativen Wert — c 
annähme, so wähle ich erstens e «c. Weil Lon (y) gleichmässig gegen Null herabsinkt, wenn 
wir uns der Peripherie des Einheitskreises nähern, so können wir sicher r(7»|7'|) so gross 
wählen, dass in demjenigen Teil des Einheitskreises, der ausserhalb des Kreises mit dem 
Radius r um den Nullpunkt liegt, die Relation Ves e stattfindet. 
Wenn ieh nunmehr in denjenigen Teil von e der zwischen den Peripherieen des 
eben definierten Kreises und des Einheitskreises liegt, eine geschlossene Kurve C derart 
niederlege, dass sie den Nullpunkt umschliesst, so schneidet diese Kurve einen Teil von e 
aus. Auf allen in der Begrenzung dieses Teiles eingehenden Kreisen 2 00 und x, ist o 0. 
Auf der Kurve C ist ^ A 6, während [eee t ist, woraus unmittelbar hervorgeht, dass 
auf dieser Kurve e' > — « ist. Dann können wir aber in bekannter Weise schliessen, dass die 
Relation o' > — s überall in dem betrachteten Teil von e stattfindet. 
Da der Punkt z' gerade in dem betrachteten Teil von 2, vorkommt, so folgt, dass 
— 07» —£t oder e>o ist. Das steht aber in Widerspruch mit der Voraussetzung e < 0. 
Hiermit ist nachgewiesen, dass die Funktion ®’ überhaupt keine negative Werte 
innerhalb 2, annimmt, d. h. wir haben die Beziehung 
M 
(64) xS 2 V? (m) 
für alle Punkte von S und für alle Werte von 4. 
Aus (64) folgt nun weiter, dass D lim V = (n). Da aber in dem parabolischen 
4 — o 
Fall lim un (gy) — 1 ist, so haben wir also gefunden, dass innerhalb 2, 
A-—o0 
+ M 
y 2! 
ist. Diese Relation lässt aber erkennen, dass e > 0, womit unser Satz bewiesen ist. 
25. Durch Heranziehung dieses Hilfssatzes können wir nummehr über die Funktion 
NW (7; 90, m) wichtige Schlüsse ziehen. Zuerst beweisen wir folgenden Satz: 
Die Potentialfunktion W, (7; no, 9) nimmt auf der Kreisperipherie z', (und also auf 
allen Kreisperipherieen x,) sowohl positive als negative Werte an. 
1) Vgl. S. 22. 
