Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 37 
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D, Wo >> D, Wo. 
ist im Kreisring (x,x;) ebenfalls regulär und eindeutig. Weiter ist 
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Wir haben hiermit alle Voraussetzungen unseres vorbereitenden Satzes V' und kón- 
nen folglich schliessen, dass 
(67) D, W, (1; m; mn <° = 
ist. Hier ist die rechte Seite eine von w völlig unabhängige Grösse, die nur noch von 7», 9ı 
und den Kreisen x, und x, abhängt. Wir bezeichnen die rechte Seite mit A. 
Die linke Seite der Relation (67) stellt die Wertschwankung von W, i; 7, m) für den 
ganzen Bereich 2, dar. Weil der Kreis K diesem Bereich angehört, so folgt also, dass 
D,W,@; 9, m) <A, 
oder: 
Die Schwankung des Potentials W, (y; no, m) auf der Peripherie von K liegt unterhalb 
einer von u unabhängigen Grösse À. 
26. Wir sind nunmehr im Stande zu beweisen, dass auch in dem parabolischen Fall 
die Reihe der Potentiale n (25 9, M) (vu — O0, 1,...) gleichmässig gegen eine Grenzfunktion 
konvergiert. Wir betrachten deshalb die Funktion 
(68) W, |, 5 m, 2) — W, Q5 90, m), 
wo und w’ beliebige positive ganze Zahlen sind. Diese Funktion ist ersichtlich eine auto- 
morphe Potentialfunktion, die in dem ganzen Bereich 2, regulär ist. Auf den Randkreisen 
Ho von 2, sümmt sie mit De (9; no, 9) überein, weil ja daselbst W, (7; 90, 91) ver- 
schwindet. Uber die Funktion (68) werden wir nun wieder eine Reihe von Sàtzen entwickeln. 
Weil die Potentiale W, , , (uy; qo, 7;) und W, (9; zo, 7) innerhalb 2, sowohl positive 
als negative Werte annehmen, so können wir aus em eben durchgeführten Überlegung unmit- 
telbar schliessen, dass innerhalb ©, 
LW, 05 90, mI<A und [W, (7; 9o, Mm) <A, 
woraus folgt, dass in dem genannten Bereich 
(69) [W, +» 015 90, m) — W, (m; 9, m)|<2A. 
In dem übrigen Teil von 2,, d. h. innerhalb der Kreise x, ist die Funktion (68) regulär. 
Daraus folgt, dass die Funktion (68) innerhalb dieser Kreise auch der Ungleichung (69) genügt, 
da diese Ungleichung auf allen Kreisperipherieen #, stattfindet. Also haben wir den Satz: 
Innerhalb des Bereiches 2, besteht die Ungleichung (69). 
Nachdem wir uns hiermit davon überzeugt haben, dass das Potential (68) innerhalb 
9, zwischen endlichen Grenzen liegt, stellen wir noch folgenden Hilfssatz auf, der wieder 
nur im parabolischen Fall gültig ist. 
Wenn eine harmonische Funktion e folgende Eigenschaften hat: 
N:o 2. 
