38 SEVERIN JOHANSSON. 
1:0 € ist regulär innerhalb 2,, 
2:0 daselbst ist | o | << M, wo M eine endliche Grösse ist, 
3:0 auf allen Randkurven os von Q2, nimmt w Werte an, die nicht unterhalb Null sinken, 
dann ist w in keinem Punkt von 2, kleiner als Null. 
Dieser Satz wird natürlich genau so bewiesen wie der entsprechende Hilfssatz auf 
der Seite 34. 
Ist nun A der Maximalwert von (68) auf jm (und also auf allen Kreisen 1) und a 
der daselbst auftretende Minimalwert von (68) so ist, der absolute Betrag der Funktion 
Al (SE, (9; 90, M) — W, (7; 90, 7) 
innerhalb 2, kleiner als 2 A-- A, und derjenige von 
(Wi (0; Tor m) — W, (5; Ts m)) — a 
kleiner als 2A<+ a. Beide Funktionen sind weiter auf den Kreisen Ke sicher in keinem 
Punkt negativ. Daraus folgt dann nach dem Hilfssatz, dass sie überhaupt innerhalb 2, nir- 
gends negative Werte aufweisen, d. h.: 
Die Extremen der Funktion (68) für den Bereich 2, liegen auf den. Kreisperiphe- 
rieen RK 
Da nun aber die Funktion (68) auf den Kreisperipherieen Ke mit W,, (9; o, 41) 
übereinstimmt, so kónnen wir diesen Satz auch folgendermassen aussprechen: 
Innerhalb 2, ist |W, + w (9; m, m) — W, (25; m, m)| nicht grösser als der grösste Wert von 
[W, |, 15 9, m)| auf der Kreisperipherie K^ 
Für die Grösse | W, , ,, (y; % m) | auf der Peripherie JEN können wir aber mit 
Hilfe des vorbereitenden Satzes IV eine obere Grenze angeben. Denn die Funktion 
W, |, 00; %, 9) ist innerhalb des Kreisringes (4, ,,, K) eine reguläre Funktion, die auf 
RN „ verschwindet und auf K Werte annimmt, deren Mittelwert Null ist. Weiter 
ist auf K nach dem Satz auf der S. 37 die Schwankung der Funktion kleiner als A. 
Daraus folgt durch Benutzung des vorbereitenden Satzes IV, dass auf der Kreisperipherie KT) 
8 r® 
(70) IW, 1, G5 m 2)| « ZA. arctg Pa 
Wenn wir diese Ungleichung in Verbindung mit dem letzten Satze bringen, haben wir 
also gefunden, dass innerhalb des ganzen Bereiches 2, die Ungleichung besteht 
(0) 
3 8 "n 
WI | W, i, 05 m0, 0) — W, G5 Mo, 9) | « ÇA: arctg ^ 
In dieser Ungleichung sind A und r von w völlig unabhängige Grössen. 
27. Da mit wachsendem pu die Grössen er unbegrenzt gegen Null sinken, so besagt 
die Ungleichung (71), dass die Potentiale W, (73 No, Mm) w=0, 1,---) gleichmässig gegen eine 
Grenzfunktion 
Wa; 9%, en W, (2; 9, m) 
Tom. XLI. 
