Herstellung automorpher Potentiale bei beliebigen Hauptkreisgruppen. 39 
konvergieren. Hiermit ist also die gleichmässige Konvergenz der Potentiale W (y; zo, 71) 
auch im parabolischen Fall nachgewiesen. 
(0) 
Die Grenzfunktion W(z; 70, 7,) ist anfänglich für alle von den Punkten : verschiede- 
(0) 
nen Punkte des Einheitskreises als eine harmonische Funktion erklärt, wobei sie, wie aus 
ihrer Definition unmittelbar hervorgeht, in Bezug auf die Gruppe I automorph ist. Nun folgt 
aber aus der Ungleichung (70) die für jedes w' gilt, dass auf der Kreisperipherie Kf” 
(0) 
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IW (o; n0> Mm) | PLI arctg DS 
Aus dieser Ungleichung schliessen wir, dass die Werte von | W(z; no, mi) | in jeder Umgebung 
von dem Nullpunkt unterhalb einer endlichen Grenze liegen; der Nullpunkt ist also ein regu- 
lärer Punkt für die Grenzfunktion W(z; mo, 7), die daselbst den Wert Null annimmt. Weil 
v(0) 
die Funktion automorph ist, so folgt daraus, dass alle Puukte ES reguläre Punkte der Funk- 
tion sind und dass sie in allen diesen Punkten verschwindet. 
Bei der eben abgeschlossenen Entwickelung haben wir gewisse Einschränkungen über 
die Lage der Punkte 7, und 7, gemacht. Diese können wir nunmehr fallen lassen. Sind nàm- 
lich 7, und 7, zwei beliebige reguläre Punkte der Gruppe 7^ die innerhalb 2, liegen, so kön- 
nen wir eine endliche Anzahl ebenfalls innerhalb 2, liegender regulärer Punkte 9’, 7”,--:, 7” 
derart einschalten, dass die Paare von Punkten 
ee Toi 
alle oben auf 7, und 7, aufgelegten Bedingungen befriedigen. Dann existieren die Potentiale 
W (73 20, 4), We; 2, 0), +, Wa; 4, m) 
und ihre Summe stellt die Lösung unseres Problems dar. >) 
!) Zu der hiermit abgeschlossenen Untersuchung wurde ich durch die berühmte Abhandlung von 
Poincaré: Sur luniformisation des fonctions analytiques ( Acla mathematica, Tom. 31) angeregt. 
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