Sur les maxima et minima dune fonction de deux intégrales définies. 



1. Soient #1,2/1 et x 2 ,y 2 (x 2 >x,) deux points du plan des x.y, F(x,y,y') et G(x,y,y') 



ileux fonctions des variables x, //, //', et posons 



F{x, y, y') dx, v = \ G (x, y, y') dx, 



les intégrales étant prises suivant une courbe c joignant les points x u y x et x. z , y 2 . Soit en- 

 core cP (m, v) une fonction de m et v. Les valeurs de w et de v , et par conséquent celles de 

 <ï>, dépendent évidemment de la forme de la courbe c, et l'on peut se demander quelles sont 

 les courbes qui donnent à d> des valeurs maxima ou minima. 



Euler, qui s'est déjà occupé des problèmes de ce genre, a reconnu que la courbe cher- 

 chée doit être une extrémale pour le problème isopérimétrique où il s'agit de trouver, parmi 

 les courbes pour lesquelles l'une des intégrales conserve une valeur constante, celles qui don- 

 nent à l'autre des valeurs extrêmes. 



Dans ses Leçons sur le calcul des variations ') M. Hadamard a fait la remarque que ces 

 questions se ramènent au type général de problèmes qu'on nomme problème de Lagrange. 

 Mais la solution de notre problème n'est pas actuellement accessible par cette voie, car le 

 cas du problème de Lagrange auquel on se trouve conduit est encore loin d'être résolu d'une 

 manière complète. 



Enfin, dans un Mémoire récent 2 ), M. Bolza a traité les deux cas particuliers de notre 



problème où il est question du quotient ou du produit des intégrales // dx et \j/ 1 + y' 2 dx. 



Dans ce qui suit nous tâcherons de développer une théorie générale pour le problème 

 posé ci-dessus. Profitant en quelques points (au n° 7) des indications que donne M. Bolza 

 dans le travail cité, nous établirons, pour ce qui concerne l'extremum faible, des conditions 

 nécessaires et suffisantes tout à fait analogues à celles qu'on obtient dans le problème de 

 l'extremum libre d'une seule intégrale ou dans le problème isopérimétrique. Nos résultats 

 donnent en même temps quelques contributions intéressantes à la théorie de ce dernier 

 problème. 



Quant à l'extremum fort, nous n'avons pas réussi à le traiter d'une manière aussi com- 

 plète que l'extremum faible. Cependant nous indiquerons aussi pour l'extremum fort des 

 conditions susceptibles d'applications. 



') page 218. 



2 ) Über zwei Euler sehe Aufgaben aus der Variationsrechnung, Annali di matematica pura ed applicata, 1913. 



