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Nous devons à des discussions avec M. Ernst Lindelöp plus d'une simplification des 

 développements qui suivent. 



2. Nous supposons, pour simplifier, que les fonctions F et G ainsi que la fonction '/' 

 sont des fonctions analytiques de leurs arguments, régulières pour chaque système de va- 

 leurs des variables que nous aurons à considérer. 



Toute courbe que nous envisagerons aura les propriétés suivantes. Elle n'est coupée 

 qu'en un seul point par une parallèle quelconque à l'axe des y. De plus, elle est continue et 

 sa tangente varie d'une manière continue, sauf en des points en nombre limité, où la courbe 

 peut présenter des points anguleux. Cependant, pour ne pas avoir à nous occuper de détails 

 étrangers aux idées principales de notre étude, nous n'admettrons comme solutions de notre 

 problème que des courbes à tangente continue. 



Pour mieux pouvoir préciser les courbes c voisines d'une courbe donnée c que nous 

 voulons envisager, nous nous servirons de la notation suivante. Soit y = y (x) l'équation de 

 la courbe c«; nous désignerons par T , l'ensemble des courbes y=y(x) (autres que c ) joi- 

 gnant les points x u ï/, et x 2 ,y t qui jouissent des propriétés mentionnées tout à l'heure et 

 qui, pour x, <x<x 2 , satisfont aux inégalités 



I y (so) — ,'/o <■<•) I < Q 

 | // U') — //</ U) | < ç'. 



q étant une quantité quelconque, nous conviendrons encore de désigner par ( q ; toute 

 quantité dépendant de q (et peut-être encore d'autres quantités ou d'autres données) qui, 

 pour les valeurs de 1^1 inférieures à une certaine limite s, admet une limite supérieure finie 

 tendant vers zéro en même temps que f. 



Enfin, pour abréger l'écriture, nous ne parlerons que du minimum de la fonction ( l>{n, v), 



3. En nous occupant d'abord (jusqu'au n" 15) du minimum faible, commençons par 

 montrer que la courbe qui donne la solution de notre problème doit être une extrémale pour 

 le problème isopérimétrique qui consiste à rendre l'une des intégrales u et v minimum, l'autre 

 intégrale restant constante. 



Soient c la courbe cherchée, m et v les valeurs correspondantes de u et de v, et posons 



dd> . dd> 



ôu <«o,' : o) =a, ' ôv (Ht,««) = b. 



En supposant d'abord que a et h ne soient pas nuls tous les deux, il est facile de voir que 

 c« doit être une extrémale de l'intégrale 



(a F -f- b G) dx = au + bv, 



et par suite aussi une extrémale du problème isopérimétrique dont nous venons de parler. 



En effet, si c n'est pas extrémale, on sait qu'il est possible de trouver une famille de 

 courbes qui joignent les points #i,//i et x 2 , y. 2 , 



y = y(x, «), 



Tom. LX1V. 



