Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 



renfermant la courbe c„ et telle que la dérivée par rapport à « de l'intégrale an -\- hv, prise 

 suivant la courbe y = i/(x,ct), soit différente de zéro pour la valeur a — «„ qui correspond à 

 la courbe c . Or, la dérivée de '/>(«,') par rapport à « a, pour « = a„, cette même valeur, 

 et puisqu'elle est différente de zéro, la courbe c ne saurait donc fournir le minimum. 



Considérons maintenant le cas où a = 6 = 0. Il est clair qu'une courbe pour laquelle 

 ces égalités sont réalisées peut, dans certaines conditions, donner une sorte de minimum, 

 même si elle n'est pas extrémale isopérimétrique. 



Soit c une courbe voisine de c„ et désignons par Am et A« les accroissements pris par 

 u et v lorsqu'on passe de c à c. L'accroissement de <l> peut s'écrire 



A'/' = «Am -f &Av 4 



2 L du 2 



d' 1 <l> d 2 <l> d 2 '/' 



A«2 + 2 j- A AwAv 4 -A Av» 



âudv 



dv 2 



4 



Si, « et i étant nuls, les termes du second degré de ce développement constituent une forme 

 définie positive, l'ensemble T (g ,, pour des valeurs suffisamment petites de q et de o\ ne ren- 

 fermera pas de courbe donnant à d>(u,v) une valeur plus petite que celle qui correspond à c . 

 Donc, dans ce cas il y aura minimum, du moins au sens large. 



Mais il est facile de voir qu'une courbe r qui n'est pas extrémale isopérimétrique ne 

 peut jamais fournir un minimum strict. Soient en effet ij x {x), rj 2 (x) et rj 3 (x) trois fonctions 

 continues linéairement indépendantes, ayant des dérivées continues du premier ordre et s'an 

 nulant toutes pour x = Xi et pour x = x 2 . On peut choisir ces fonctions de telle manière 

 que, si l'on pose 



V («i «i i «2, «s) = ?/o <•>') 4- «i 1i (*) 4 «2 Vi ( œ ) + "a la (#), 

 a,, a 2 , «3 étant des constantes, le déterminant 



F{x, f/, y') dx 

 Q (x, f/, f/) dx 



5 — F (x, y, y') dx 

 oa 2 J 



ne s'annule pas pour «j =a 2 = a 3 =0. En effet, si ce déterminant était nul indépendam- 

 ment du choix des fonctions >/, et ij 2 , la courbe c serait nécessairement une extrémale iso- 

 périmétrique. Donc, les équations 



j F(x, //. //') dx - | F {x, //„, y ') dx = U, 

 Ö (x, //, //') '/.'' — G (X. //„, //„') r/.c = (I 



définissent ct { et u t comme des fonctions de « 3 s'annulant pour « 3 = n, et par conséquent il 

 y a, dans chaque voisinage de c , une infinité de courbes pour lesquelles u et r ont les 

 mêmes valeurs que pour c . 



En nous bornant dans ce travail à traiter le minimum strict, nous pouvons donc laisser 

 de côté toutes les courbes qui ne sont pas des extrémales. 

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