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4. Par ce qui précède nous sommes conduits à envisager les extrémales de l'intégrale 

 u -f- Iv qui passent par les deux points a^, y t et .r 2 , ?/ 2 , A. étant un paramètre. Les intégrales 

 u et v prises suivant une de ces courbes sont des fonctions de A, et il en est donc de même 

 de la fonction <l>(u,v) et de ses dérivées. No.uk poserons 



dO . â '/> 



-t— = a (/), -, = b (/). 



ou o v 



Pour que la courbe en question donne la solution de notre problème, il faut d'après le n" 3 

 qu'elle soit extrémale de l'intégrale 



a (/) m + l> (A) v. 

 Donc la valeur de A correspondant à la courbe cherchée doit satisfaire à la condition 



Il est clair que cette égalité n'a pas lieu en général, et qu'elle constitue par conséquent une 

 condition essentielle. 



La question de savoir si l'équation (1) est résoluble ou non et si elle admet une ou 

 plusieurs racines dépend évidemment de la nature des fonctions F, G et <l> et de la position 

 des points cc l7 y, et x 2 ,y 2 . Sans entrer dans la discussion de cette question, nous suppose- 

 rons qu'on ait trouvé une extrémale satisfaisant à (1) et nous chercherons les conditions 

 sous lesquelles une telle extrémale fournit le minimum. 



Remarquons que les questions se posent d'une manière analogue dans le problème iso- 

 périmétrique. Si l'on se donne les points x lt y x et x 2 , y 2 et la valeur constante de l'intégrale 

 v, il s'agit d'abord de trouver une extrémale pour laquelle v prend effectivement cette va- 

 leur, ce qui, dans notre problème, correspond à la résolution de l'équation (1). Considérant 

 cette question comme un problème à part, la théorie classique ne s'occupe que des conditions 

 sous lesquelles une telle extrémale, si elle existe, peut fournir l'extremum. On voit que 

 c'est le même point de vue que nous adoptons ici. 



Nous supposerons encore, dans tout ce qui suit, que c n'est pas à la fois extrémale 

 des deux intégrales u et v, et, de plus, nous laisserons de coté le cas où a = b = 0. Avec 

 ces hypothèses nous resterons encore dans le cas général. Car le cas où une extrémale iso- 

 périmétrique est extrémale des deux intégrales u et v doit évidemment être considéré comme 

 un cas particulier, et d'autre part, comme les équations 



d (I) à (/> 



au a r 



ne sont en général satisfaites qu'en des points isolés, ce n'est que dans des cas spéciaux que 

 les extrémales joignant x x ,y x et x 2 , y 2 pourront donner à u et v des valeurs correspondant 

 à de tels points. 



On remarquera qu'il n'y a a priori aucune raison pour faire jouer aux intégrales U et « 

 des rôles différents dans notre problème. .Si, dans nos développements, nous renonçons néan- 



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