Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. i 



moins à la symétrie, c'est pour obtenir plus de simplicité et pour pouvoir mieux rattacher 

 notre étude à la théorie du problème isopérimétrique. Mais de ce manque de symétrie il 

 résulte que nous ne pouvons pas immédiatement faire rentrer dans nos raisonnements gé- 

 néraux le cas où a = 0. Pour cette raison nous admettrons d'abord que «9^0; au n° 14 

 nous nous débarrasserons ensuite de cette restriction. 



5. Poursuivons la recherche des conditions nécessaires. 



Supposant que c soit une extrémale satisfaisant à l'égalité (1) et aux hypothèses pré- 

 cédentes, montrons que la condition de Legendre relative à la fonction uF-\-hG doit être 

 remplie sur cette courbe, c'est à dire qu'on doit avoir 



0HaF+hU) > 

 dy'* 



pour x', < x < x 2 , y = //„ (x), //' = y ' (x). 



Si en un point x 3 , y 3 de c la dérivée en question est négative, on peut délimiter une 

 portion de c contenant le point x 3 , y 3 où cette dérivée reste négative. Prenons sur ce seg- 

 ment un point x it // 4 , soit à gauche de x 3 , y 3 ; on peut entourer la partie de c comprise entre 

 les points x t ,y t et x 3 ,y 3 d'un faisceau d'extrémales régulières de l'intégrale au-\-bv issues 

 dé .' + , y t . Soit E (ii b) (x,y,y',p) la fonction de Weierstrass relative à l'expression aF-\-hG. 

 Si Q ' est suffisamment petit, cette fonction reste négative pour 



x = x 3 , y = y (.'■;,) . < | y' — y ' (x 3 ) | < ? ', V — I/o 0» 3 ). 



Formons maintenant de la manière suivante une famille de courbes voisines de c , dé- 

 pendant d'un paramètre t. Traçons par x 3 , y 3 une droite d, ayant pour coefficient angulaire 

 un nombre m tel que 0<|m — y ' (x 3 ) | < q '. La courbe correspondant à une valeur donnée 

 ff(>0) est celle qui, entre œ 4 // + et x 3 y 3 , est constituée par l'extrémale du faisceau considéré 

 ci-dessus joignant le point x it y K avec le point de d qui a pour abscisse x 3 — a et par la por- 

 tion de d située entre ce dernier point et le point x s 3 , y/ 3 , et qui, pour le reste du chemin 

 entre x t , y x et x. 2 , y 2 , coïncide avec c . 



La dérivée par rapport à a de l'intégrale au -f- bv, prise suivant les courbes de cette 

 famille, a, pour ff = 0, la valeur E. tti) (x 3 ,y 3 ,m,y '(x 3 )), qui est négative. Comme la dérivée 

 de O {a, v) par rapport à a a cette même valeur pour a = 0, et que m peut être pris aussi 

 voisin de y ' (x 3 ) que l'on veut, on voit qu'il existe dans l'ensemble 2' w ,, quelque petits que 

 soient o et ?', des courbes pour lesquelles A (/> est négatif. La condition de Legendre relative 

 à la fonction aF-\-hG est donc une condition nécessaire pour notre problème. 



Dès à présent nous la supposerons remplie, et cela sous la forme stricte, c'est à dire 

 nous supposons que 



å*(aF+bG) 



> o 



a y 2 



pour ./', <~ x <, .r 2 , y = y (x), y' — //„' (x). 

 N:o 5. 



