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Grâce à cette hypothèse il noua est, dans la suite, permis d'admettre l'existence d'une 

 famille d'extrémales isopérimétriques à deux paramètres, issues de j\,ih et régulières par- 

 tout dans le voisinage de <v 



6. Passons maintenant à la question plus délicate de savoir quelle forme prendra, dans 

 notre problème, la condition de Jacobi. 



Soit r la courbe ( l>(u, v) — * (h , v ) = u et C an cercle de rayon r ayant le point n , v 

 pour centre. Puisque nous supposons «^u. le point u , v„ est pour la courbe r un point 

 ordinaire. Si /• est assez petit, r partage donc le cercle C en deux parties; nous désignerons 

 par C la partie de C où d> (u, v) — <7> (u B , v )^>U et par c„ la partie où cette différence est 

 négative. 



Résolvons l'équation <l>{u,v) — *l> (w , v ) = par rapport à w- h , ce qui est- possible 

 puisque a ^0. En désignant par « la valeur de l'expression 



d<l>Y d 2 <l> dd>dti> d 2 <l> (dd>\ 2 f) 2 <l> 



dvl du* du dv âuàv 



(d <l>y 0**1 

 [dû/ Jv* 



(d </>\ 2 

 [du) 



an point u 0: v , il vient, avec la notation introduite au n" 2, 



u - m = — a (v — v ) — 2 a (ü — ' ;n)2 + (r; ~~ Vn)2 ; v ~ v «'' ' 



et la courbe r est donc, dans le voisinage du point h , v , représentée par une équation de 

 la forme 



a (m — h,,) -f- h {v — r ) + g (v — v ) 2 -f (w — v ) 2 ; r — w ) = 0. 



Désignons par i un nombre positif et considérons la parabole 



a (tt — h.) + 6 (v — »,) + ß - *) (r - *o) 2 = ( >■ 



Cette parabole partage aussi C en deux parties, dans lesquelles le premier membre a des 

 signes différents; soit C la partie où ce membre est positif et C H celle où il est négatif. 

 Supposons le rayon r si petit que la courbe /' n'ait dans C d'autres points communs 

 avec la parabole (pie le point u , v . La portion de /' intérieure à C appartient alors, à 

 l'exception du seul point u , v , à l'aire C n . En observant que, si l'on s'avance à partir du 

 point w , v (> suivant une droite quelconque qui n'est pas tangente à I] le premier membre de 

 l'équation de la parabole croit ou décroit en même temps que la fonction (u, v), on en con- 

 clut immédiatement que l'aire Ç appartient entièrement à l'aire C p . Si donc on a, pour un 

 point m + Ah, v a -j- At> intérieur à C, 



aAit + 6Ai> + (" - A Au 2 > 0, 



on a aussi en ce point </> (u -f Ah, v -f Av) — <ï> (« , v ) > 0. 



Si, au lieu de la parabole considérée ci-dessus, on prend la parabole 



a(u- u ) + b (v w ) + (| + *J < '' - "o) 2 = 0, 



Tom. XLIV. 



