Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 9 



le segment de r intérieur à C appartient à C , et par suite, l'aire C n est comprise tout en- 

 tière dans C n . Donc, si pour un point u -\- Au, v -\-Av intérieur à C on a 



aA w + /;Ay 4- (| + h) â^<0, 



on y a aussi <l> (« + A«, i'o + Av) — </ J (w , w ) < 0. . 



Remarquant que, quelque petit que soit r, on peut toujours choisir {> et ç' si petits que 

 les valeurs de u et v correspondant aux courbes T déterminent des points intérieurs au 

 cercle C, nous pouvons donc énoncer les résultats suivants: 



S'il existe des nombres positifs k, q, q' tels que l'inégalité 



aAu + bAr + (" — fc] A/;2 > 



ait lieu pour toute courbe de V ensemble T la fonction <l>(u,v) a pour c„ un minimum. 

 Et, d'autre part: 

 S'il existe un nombre positif k tel que, quelque petits qu'on se donne q et q', l'inégalité 



aAu -f bàv + (t+k\ Ay2 < 



ait lieu sur des courbes faisant partie de l'ensemble T ' , c ne fournit pas un minimum de 

 <î> (m, v). 



Ce résultat nous montre que notre problème est étroitement lié à la question de savoir 

 si, et pour quelles valeurs de la constante v, l'expression 



(2) aAu + bàv + ;'Ar 2 



est minima pour c . C'est sur cette question que nous porterons maintenant notre attention. 



7. Conservant toutes les hypothèses faites dans ce qui précède, désignons par 5 l'extré- 

 male dont r est un segment, et soit P le foyer conjugué isopérimétrique du point x l , y t sur 

 cette extrémale. 



Soit y = y (x,b, (i) l'extrémale de l'intégrale au-\-bv qui passe par %i,yi et dont la 

 tangente en ce point a fi pour coefficient angulaire, et désignons par fi la valeur de n cor- 

 respondant à l'extrémale s. Posons encore 



m (x, b, ,«) = G ( r. y (x, b, u), y' (x, ï, fi) \ dx 



et admettons enfin que le point /', s'il existe, se trouve à droite du point x % ,g 2 . 

 Puisque, en vertu de cette dernière hypothèse, on a 



à (ï, j») 



N:o 5. 



