10 J. W. Lindeberg. 



pour x = x 2 , ï = 6, [t = (j, , les équations 



f gx // fe,*, /*) = y (X 2 ,l>,/I„) 



m (x 2 , b, fi) = w (ic 2 , b, jtt ) + // 



• 



déterminent les paramètres b et /i comme des fonctions de ij qui, pour y = 0, prennent les 

 valeurs b et /* , et qui sont régulières tant que \y\ reste inférieur à un certain nombre po- 

 sitif »/„. Si |ç|<«?oi on P eu t donc faire passer par les points x x , // t et x 2 , y 2 'une extrémale 

 isopérimétrique 



(4) . y = y(x,v), 



pour laquelle Av = y. De plus, si y est suffisamment petit, cette extrémale aura son foyer 

 conjugué situé au delà de x 2 , y 2 , et pourra donc être entourée d'un faisceau d'extrémales 

 isopérimétriques. Comme la condition de Legendre relative à la fonction aF+bG est véri- 

 fiée sur c , cette condition est encore, si y est suffisamment petit, remplie sur l'extrémale 

 (4) entre x u y x et x 2 ,y 2 , limites comprises, pour la fonction correspondante aF+bG, et 

 cette extrémale fournira donc un minimum faible de l'intégrale au, v restant constant. Enfin, 

 et toujours pourvu que q soit suffisamment petit, on pourra choisir des nombres fixes q et q 

 tels que le minimum considéré ait lieu par rapport à toute courbe faisant partie du voisinage 

 T , de c„ et donnant à Av la valeur rj. En diminuant encore, s'il est nécessaire, q et q' de 

 telle façon que les valeurs de Av correspondant aux courbes T QQ , soient en valeur absolues 

 plus petites que le nombre y auquel on est conduit par les restrictions précédentes, nous 

 sommes donc assurés que, c étant une courbe de T QQ ,, et c' l'extrémale (4) qui donne à Av 

 la même valeur que c, la valeur de l'intégrale au correspondant à la courbe c est au moins 

 égale à celle qu'elle prend sur c'. Mais, puisque Av a pour ces deux courbes la même valeur, 

 cela revient à dire que l'expression (2> a pour c' une valeur qui ne peut pas dépasser sa 

 valeur sur c. Finalement, la question de savoir si (2) est minima pour e dépend donc uni- 

 quement des valeurs de cette expression sur les extrémales passant par x u j/i et x 2 , y 2 : 

 si le minimum a lieu par rapport à ces extrémales, il aura lieu aussi par rapport aux cour- 

 bes de Vensemble T ,, à condition que q et g' soient suffisamment petits. Inversement il est 

 évident que, pour qu'il y ait minimum par rapport aux courbes d'un ensemble T ,, il faut 

 que le minimum ait lieu aussi par rapport aux extrémales faisant partie de cet ensemble. 



8. Pour étudier les valeurs que prend l'expression (2) .sur ces extrémales, choisissons 

 comme paramètre la valeur de l'intégrale v prise suivant l'extrémale qu'on considère, et ex- 

 primons b et [i en fonctions de v à l'aide des équations (3) (on a évidemment y = v — v ). 

 La dérivée de l'expression (2) par rapport à v est égale à 



dAu , , . . 

 a -, + b + 2 vAv. 

 du 



En observant (pie la somme a L - +6 est identiquement nulle, puisque, pour chaque va- 

 leur de b, la courbe correspondante est une extrémale de l'intégrale au -f bv, cette expression 



peut s'écrire 



b — b 4-2 vAv. 



Tom. XLIV. 



