Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 11 



En différentiant encore une fois par rapport à v, on obtient comme valeur de la dérivée se- 

 conde de l'expression (2) 



-f + 2., 



i/r 



La dérivée première étant nulle pour v = v , il vient donc 



(5) «Au + lAv + ràv* = 1 ( 2 •- - ~ J àv 2 + Al?* { At? ) . 



En se reportant à ce qui a été dft aux deux numéros précédents, on conclut immédia- 

 tement de cette égalité que, si 



dl -M 

 la fonction 0(u,v) est minima pour c , tandis qu'il n'y a pas de minimum si 



dv 

 Ceci nous conduit à étudier comment se comporte la dérivée -=- lorsque le point x 2 , y 2 

 se meut suivant l'extrémale s. 



9. Faisons d'abord une remarque relative aux résultats des deux derniers numéros. 



Du point de vue de notre problème principal, le point x 2 , y 2 doit être considéré comme 

 fixe, car, si ce point change de position sur s, ce ne sera plus, en général, l'extrémale c qui 

 satisfera à l'égalité (1), puisque a et b auront des valeurs nouvelles. 



Mais nous pouvons étudier aussi l'expression (2) en elle-même, les intégrales u et v 

 étant prises suivant un arc de l'extrémale 5 s'étendant de x lt y, à un point quelconque x 2 , y 2 

 situé à gauche de P, Ah et àv désignant par suite les accroissements pris par u et v lors- 

 qu'on fait varier cet arc, ses extrémités restant fixes. Nos résultats relatifs à l'expression (2) 

 resteront toujours valables, pourvu que la condition de Legendre soit vérifiée sur l'arc de c 

 que nous envisageons. 



En supposant que la condition de Legendre soit remplie sur 3 entre x l: y t et le foyer 

 isopérimétrique P (le point x l: y, compris), nous allons maintenant démontrer que, lorsque le 



point x 2 , y i se meut suivant l'extrémale c de gauche à droite, la dérivée -=— va en croissant jus- 

 qu'au foyer P 1 ). 



D'abord, puisque cette dérivée est une fonction analytique de x 2 , elle ne peut rester 

 constante dans aucun intervalle. Supposons donc que sa valeur en un point x 3 , y 3 situé à 

 gauche de P soit plus grande qu'en un point a: 4 , i/ 4 compris entre x 3 , y 3 et le foyer P. Si, 

 dans l'expression (2), nous donnons à v une valeur telle que 2 v soit compris entre les deux 

 valeurs considérées de la dérivée, cette expression devrait, en vertu de l'égalité (û) et des 

 raisonnements du n° 7, être minima pour l'arc de s compris entre les points x,, y t et a 4 . // 4 , 

 tandis qu'il n'y aurait pas de minimum pour l'arc compris entre les points #i,i/i et x 3 ,y 3 . 



') Cf. Bolza. Vorlesungen über Variationsrechnung, p. 479. 

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