12 J. W. Lindeberg. 



Ceci étant évidemment impossible, la dérivée -jy ne peut donc pas décroître quand le point 



x 2 , y 2 se déplace vers la droite. Par suite, elle va constamment en croissant. 



Il est clair que, s'il n'y a pas de foyer P, la dérivée en question croîtra tant que la 

 condition de Legend re sera remplie. 



En substituant v — v à la place de r\ dans la deuxième équation (3), on tire de ces 

 équations 



ày 

 db d fi 



(6) 



dv d (y, m) 

 d O, b) 



Il est facile de voir que, lorsque x 2 , y 2 tend vers le point x u y,, -j— devient infiniment pe- 

 tit du premier ordre par rapport à x 2 — x x , tandis que le dénominateur devient infiniment pe- 

 tit d'ordre supérieur, d'où il suit que la valeur absolue de -j- augmente indéfiniment. Donc la 

 dérivée -=— décroît vers — oo lorsque x 2 , y. 2 tend vers » 1: y { . 



10. Signalons en passant une conséquence intéressante, relative au problème isopéri- 

 métrique, qui découle de ce qui précède. 



Soient P, et P 2 les deux premiers foyers conjugués du point x x ,y± relatifs au problème 

 du minimum libre de l'intégrale au -\- bv, et supposons que le foyer isopérimétrique P ne 



coïncide pas avec P, . Si le point x 2 , y 2 coïncide avec P 1; la dérivée -5- est nulle, comme 

 le montre l'égalité (6). Quand x 2 , y 2 se meut ensuite vers la droite, la dérivée -=- croît con- 

 stamment jusqu'au point P, et ne peut donc reprendre la valeur avant que x 2 , y 2 ait 

 dépassé ce point. Il s'ensuit que le point P 2 ne peut pas être situé à gauche du point P, 



car, s'il en était ainsi, la dérivée -=- serait, d'après (6), nulle en ce point. 



Le second foyer relatif au problème du minimum libre constitue donc une limite que le 

 foyer isopérimétrique ne saurait dépasser. 



On doit cependant remarquer que nous supposons la condition de Legendre remplie 

 jusqu'à P. 



11. Revenons maintenant à notre problème. Supposons que le foyer P existe, mais ne 

 coïncide ni avec P t ni avec P 2 , et que la condition de Legendre soit remplie jusqu'à P. Quand 



le point x 2 , y 2 s'approche de P, la dérivée -j- tendra alors assurément vers -p- 00 ; de sorte 



qu'elle parcourra toutes les valeurs réelles depuis — co jusqu'à +00 lorsque x 2 ,y 2 passe de 

 x lt y t à P. Quelle que soit la valeur de la constante « (voir n° 6), il y aura donc à gauche 

 de P un point P bien déterminé où 



dl n 



(7) a -^ = a 



Tom. XLIV. 



