Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 13 



Si le point x 2 , y 2 de notre problème primitif se trouve à gauche de P, la différence 



ce — -j- aura en ce point une valeur positive, et, en vertu du résultat du n° 8, la fonction 



<l>(n,v) aura donc un minimum pour l'extrémale e . Si au contraire le point x 2 , y 2 se trouve 

 à droite de P, la différence en question est négative, et le minimum n'aura pas lieu. 



Tenant compte de l'égalité (6), on voit que P est le premier point de s dont l'abscisse 

 satisfait à l'équation 



(8) ^ + «^) = o, - 



où h et fi ont les valeurs b et /* . Le point P défini par cette propriété sera dit le foyer con- 

 jugué du point x u î/, dans notre problème, et cela indépendamment de toute hypothèse rela- 

 tive à la condition de Legendre ou à l'existence et à la position du point P. 



Nous allons démontrer que, toutes les fois que le foyer P existe et que la condition de 

 Legendre est vérifiée sur l'extrémale 5 depuis x x y x jusqu'à P, limites comprises, ce point P 

 joue pour notre problème le même rôle que dans les hypothèses admises au début de ce nu- 

 méro. 



Il est d'abord facile de voir que le foyer isopérimétrique P ne peut pas se trouver à 

 gauche du foyer P de notre problème. En effet, si P était à gauche de P, et si P n'est pas 



un foyer pour le problème du minimum libre, la dérivée -=- tendrait vers -+- oo lorsque x 2 , y 2 



tend vers P; elle prendrait donc la valeur a en un point situé à gauche de P, et ce point 

 vérifierait par suite la condition (8), ce qui n'est pas possible puisque, par définition, P est 

 le premier point vérifiant cette condition. Si, d'autre part, le foyer isopérimétrique P est en 

 même temps foyer du problème du minimum libre, il vérifie aussi la condition (8), et ne sau- 

 rait donc se trouver à gauche de P. 



Cela posé, admettons que le foyer isopérimétrique n'existe pas, ou bien se trouve à 



droite de P. Dans les deux cas la dérivée , , en vertu de notre hypothèse relative à la 



condition de Legendre, va en croissant depuis x u yi jusqu'à P, où elle prend la valeur a, et 

 même un peu au delà de ce point. Donc nos résultats relatifs au minimum de la fonction 

 * (m, v) resteront encore valables. 



Si le foyer isopérimétrique coïncide avec le point P, la dérivée -=- est nécessairement in- 

 férieure à « à gauche de ce point, sans quoi P ne serait pas le premier point vérifiant la 

 condition (8). Donc <&(«,«) aura un minimum si x 2 , y 2 se trouve à gauche de P. Si, enfin, 

 x 2 , y 2 est situé à droite de ce point, il n'y a pas d'extremum isopérimétrique, et, puisque nous 

 supposons a ^6 0, il n'y a donc pas non plus de minimum pour notre fonction <I> (m, v). En ré- 

 sumé nous pouvons donc énoncer ce résultat: 



Si c est un arc, compris entre les points x x , y x et x 2 , y 2 , d'une extrémale isopérimétrique 

 satisfaisant à V égalité (1), et si la condition de Legendre relative à la fonction aF-\-bO est 

 remplie au sens strict sur c , extrémités comprises, la fonction <1> (u, v) a un minimum faible pour 

 N:o 5. 



