14 J. W. Lindeberg. 



cette courbe si x 2 , y 2 est situé à gauche du foyer P, tandis qu'il n'y a pas de minimum si x 2 , y t 

 se trouve à droite de ce point. 



Il est clair que s'il n'y a pas de foyer P, le minimum est assuré moyennant les deux 

 premières conditions. 



12. Il est un point sur lequel il nous faut attirer l'attention. 



Au n° 9 nous avons déjà fait remarquer que, si pour certaines positions des points 

 .'!, //, et .v 2 , y-2 on a trouvé une extrémale satisfaisant à l'égalité (1), cette égalité cessera 

 en général d'être vérifiée quand x. 2 ,y 2 se déplace sur cette extrémale, puisque les valeurs de 

 u et v , et par suite celles de a et b varieront. Cependant, si l'on imagine que, le point 

 x 2 , y 2 étant mobile sur 5, on ajoute aux intégrales u et v des quantités ?(a? 2 ) et tj (x 2 ) dépen- 

 dant de x 2 et déterminées de telle sorte que les sommes u + § (x 2 ) et v + tj (x 2 ) conservent 

 les valeurs u et v lorsque x 2 varie, tout ce que nous avons dit s'applique à la fonction 

 3> («-}-£, v -f tj) quelle que soit la position du point x 2 , y 2 sur l'extrémale considérée. On 

 peut donc se demander pour quelle valeur de x 2 le minimum de cette fonction cesse d'avoir 

 lieu, et c'est alors le point P qui apparaît comme limite, et qui joue ainsi le même rôle que 

 les foyers conjugués dans les problèmes simples. 



On remarquera que cette variation des intégrales u et v a son analogue dans le prob- 

 lème isopérimétrique. En effet, si le point x 2 , y 2 se déplace sur l'extrémale considérée, on 

 est forcé de faire varier en même temps la valeur constante que doit conserver l'intégrale 



v = \ G dx, ce qui revient évidemment à ajouter à cette intégrale une fonction convenable de x 2 . 



13. Considérons maintenant l'ensemble des problèmes où la fonction '/' (u, v) varie de 

 telle sorte que ses dérivées du premier ordre conservent les valeurs « et & au point u , v . 

 Supposant que le foyer isopérimétrique P existe, et que la condition de Legendre soit vérifiée 

 jusqu'à ce point, nous voulons étudier comment la position du foyer P dépend de la forme 

 de la courbe </> (u, v) = (u v ), que nous avons appelée r (cf. n° 6). 



En se reportant au n° 6, où se trouve indiquée l'expression explicite de «, on voit que 

 la position de P dépend uniquement de la courbure de r au point u , v . Convenons de dire 

 que la courbure est positive ou négative suivant que la courbe r est, au point u . v , con- 

 vexe vers le côté où <l> (u, v) > CP (w , v ) ou vers le côté où <J>(w, v)< <2>(m , u ). 



Supposons d'abord que P ne coïncide pas avec un des foyers relatifs au problème du 

 minimum libre. D'après ce qui précède, c'est alors l'équation (7) qui détermine le foyer P, 



et il découle immédiatement de nos résultats concernant la dérivée ,- que, lorsque la cour- 

 bure croît de — oo à 0, le foyer P se déplace continuellement vers la droite, depuis le point 

 a 'i) .'/i jusqu'au foyer P, relatif au problème du minimum libre. 



Le fait que P coïncide avec P, si la courbure est nulle résulte d'ailleurs immédiate- 



d y 



ment de l'équation (8), puisque, pour a = o, celle-ci se réduit à -p = 0. 



Quand la courbure continue à croître depuis 0, le foyer P se déplace toujours vers la 

 droite et tend vers le foyer isopérimétrique lorsque la courbure devient infinie. 



Tom. XLIV. 



