Sur les maxima et minima d'une fonction de deux integrales "léfinies. 15 



Le cas où le foyer P se confond avec le foyer P, est. pour l'ensemble des problèmes 

 que nous considérons ici, un cas singulier. Dans ce cas la dérivée , ne peut même pas at- 

 teindre la valeur à gauche de P; si la courbure de T croit de — co à -4- x, le foyer P 

 aura donc atteint le point P avant que la courbure ait passé par la valeur 0, et restera 

 confondu avec ce point pour toutes les valeurs positives de la courbure. 



Le cas où P coïncide avec le second foyer relatif au problème de minimum libre peut 

 également être un cas singulier. 



Par ce qui précède, le problème isopérimétrique apparaît comme un cas limite de notre 

 problème principal. En se reportant à l'expression (2), on voit pourquoi il doit en être ainsi. 

 En effet, si dans cette expression on fait v = -f- co , on aura le problème isopérimétrique, car 

 alors le terme vAv 2 assure le minimum par rapport à toutes les courbes pour lesquelles 

 Av ^ 0, et ce ne seront donc que les courbes pour lesquelles Av = qui importent. 



14. Nous allons maintenant nous débarrasser de l'hypothèse «7^0, en excluant toujours 

 le cas où a = b = et celui où c est extrémale à la fois pour u et pour v (cf. n° 4). 



Remarquons d'abord que les conclusions qui nous ont conduit à l'égalité (1) et à la con 

 dition de Legendre subsistent encore dans le cas où a = 0. Ce n'est donc qu'aux questions 

 concernant le foyer P que nous avons à attacher notre attention. 



Soit y = f/(x,ä,b,fi) l'extrémale de l'intégrale äu -4- bv qui passe par le point x t , y t et 

 dont la tangente en ce point a /j pour coefficient angulaire, et posons 



(x, a. b, /j) = 1 G (x, y, //) dx. 



Avec ces notations l'équation (8) peut s'écrire 



(9) d JJb^l + I d -l = Q 



à Çb, fi) « dfi 



Soit, d'autre part, ß la valeur de l'expression 



\ dv ) au 2 ou dv ôudv \ ou J dv 2 



l àv ) 



au point u , v Q . En partant de l'hypothèse b^éO, et en faisant changer à u et v leurs rôles 

 dans les développements qui précèdent, on obtient, par raison de symétrie, comme équation 

 déterminant le foyer 



(10) ^ + ^/=0, 



d(a,fi) (idfj 



les dérivées étant prises, comme dans l'équation (9), pour « = a, b = b, fi=ii . 



N:o 5. 



