16 J. W. Lindeberg. 



Si a et & sont tous les deux différents de zéro, le foyer peut être déterminé indifférem- 

 ment par l'une ou l'autre de ces équations. 



x tendant vers #,, la dérivée -^ devient infiniment petite du premier ordre par rapport 



à x — x 1} tandis que les déterminants fonctionnels qui figurent dans les équations (9) et (10) 

 deviennent infiniment petits d'ordre supérieur. Ce sont donc les seconds termes qui détermi- 

 nent les signes des premiers membres de ces équations dans le voisinage de x u y u et, puis- 

 que ces termes ne diffèrent l'un de l'autre que par un facteur positif, il en résulte que les 

 premiers membres ont les mêmes signes dans le voisinage du point x u y x . Or ces membres 

 ne peuvent changer de signe entre le point œ, , y, et le foyer P. Donc, si aucun des nombres 

 a et b n'est nul, le foyer P peut être déterminé par l'équation qu'on obtient en faisant la 

 somme des deux équations (9) et (10). En désignant par R le rayon de courbure de r au 

 point w j v , pris avec le signe qui a été fixé pour la courbure au n° 13, cette équation s'écrit 



nu d & ^ 4- d fr °) 4- B ô ^ — o 



> d (a, p) T S (J t fj) "•" y a \ + 1)2 d fi 



Mais cette équation détermine aussi le foyer dans les cas ffl^O, 6 = et a = 0, 6^0. 



En effet, dans le premier cas le déterminant ~^ — { s'annule identiquement et l'équation (11) 



d (a, fi) 



se réduit à l'équation (9), dont nous savons qu'elle détermine dans ce cas le foyer. Et si 



c'est a qui est nul, l'équation (11) se réduit à (10) qui, dans ce cas, détermine le foyer. Si 



donc nous substituons l'équation (11) à la place de (8), nous avons la condition de Jacobi 



sous une forme qui est applicable dans tous les cas que nous considérons. 



15. Pour ce qui concerne le minimum faible, nous venons d'obtenir la solution complète 

 du problème que nous nous étions proposé. En supposant vérifiées toutes les conditions du 

 minimum faible, nous passerons maintenant à la recherche des conditions pour le minimum 

 fort. Toutefois nous emploierons cette notion dans un sens qui diffère de celui qu'on lui 

 donne ordinairement. Nous dirons qu'il y a minimum fort si, q' étant fixé aussi grand qu'on 

 voudra, on peut toujours déterminer q de telle sorte que la courbe c donne un minimum 

 par rapport aux courbes faisant partie de l'ensemble T Qgl . 



Pour le minimum fort il est d'abord nécessaire que la fonction de Weierstrass E { „ ib) relative 

 à la fonction a F -\-b ne devienne jamais négative dans le domaine 

 x t <;X^x 2 , y = y (x) ,p = y ' (x), y' quelconque. 



On démontre cela exactement comme nous avons démontré la nécessité de la condition 

 de Legendre pour le minimum faible. 



Nous allons maintenant établir une condition suffisante, applicable dans des cas étendus. 



Supposons qu'il y ait un rayon issu de u , v qui ne rencontre pas la courbe r et qui, 

 a l'exception de son point de départ, est situé tout entier dans la partie du plan où est 

 vérifiée l'inégalité d>(u,v) > d>(u ,v ). Imaginons que ce rayon tourne autour du point w , v , 

 d'abord dans le sens positif. Il y aura alors ou bien un dernier rayon qui ne rencontre pas 

 r, ou bien un premier rayon qui (outre le point u„, v ) a un ou plusieurs points communs 



Tom. XLIV. 



