Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 17 



avec cette courbe. Désignons par t t ce rayon-limite. En faisant tourner le rayon mobile en 

 sens contraire, on aura un second rayon-limite t 2 . Nous désignerons par S l'intérieur du 

 secteur engendré par le rayon mobile, toutefois avec cette convention que, si l'un des rayons- 

 limites n'a d'autres points communs avec la courbe r que u , v et s'il n'est pas tangent à 

 r en ce dernier point, il sera considéré comme faisant partie du domaine S (à l'exception du 

 point m , v , qui est toujours exclu de ce domaine). 



On remarquera que, avec cette définition du domaine S, on est assuré que la différence 

 0(u, v) — <l>(u ,v ) est positive et non nulle en chaque point de ce domaine. 



Cela posé, en désignant par E F (x,y,y',p) et E G (x,y,y',p) les fonctions de Weierstrass 

 relatives aux fonctions F et G, nous allons démontrer ce théorème: 



Si le domaine S existe et si, pour toutes les valeurs des arguments x, g, //'. p appartenant 

 au domaine 



Xi <x< Xi , y = y (x), p = g ' (x), 

 (12) 



g' ^ y ' (x) mais d'ailleurs quelconque, 



le point 



(13) u — u„ + E F , v = v -f E e 



fait partie de S, il y aura minimum fort. 



Remarquons de suite que, si la courbe r n'a aucun point situé à l'intérieur du demi- 

 plan où l'expression a (u — u ) -f- b (v — v ) est positive, et qui est évidemment limité par la 

 tangente de r au point u , v , le domaine S est précisément constitué par l'intérieur de ce 

 demi-plan. Dans ce cas notre condition revient donc à supposer l'expression E {a b) positive 

 dans le domaine (12). Car on a E, h) = aE F + b E G , et, si cette somme est positive, le point 

 (13) se trouve dans le demi-plan en question, et inversement. 



D'ailleurs, le domaine S faisant nécessairement partie de ce même demi-plan, la condi- 

 tion qu'énonce notre théorème implique toujours que la fonction E (a b) est positive et non 

 nulle dans le domaine (12). C'est un fait dont nous aurons à nous servir dans la suite. 



Pour démontrer que notre condition est suffisante, nous allons d'abord établir un lemme. 



16. Soit 5 un arc de Fextrémale 5 qui renferme intérieurement l'arc c et sur lequel 

 est vérifiée la condition de Legendre relative à la fonction a F -f & G. Prenant « suffisam- 

 ment petit, on peut alors faire passer par chaque point de v une extrémale de l'intégrale 

 au-\-bv faisant avec z- l'angle constant «, et ces extrémales formeront un faisceau couvrant 

 une certaine région du plan qui renferme intérieurement l'arc c . Soit S f le domaine limité 

 par les courbes y = y (x) + ç, y = w (x) — q et les droites x = x t , x = x 2 , et supposons q 

 assez petit pour que S ? appartienne à la région en question. Si c est une courbe faisant 

 partie de l'ensemble T ?? ,, où q' peut avoir une valeur finie quelconque, on aura alors 1 ) 



aAu + &Ay = f (a E F + b E g ) dx — C (a E F + b E G ) dx, 



') Cf. notre Mémoire „Über einige Fragen der Variationsrechnung" , Mathematische Annalen, Tome 67 p. 343. 

 N:o 5. ^^TrVffj^V 3 



