18 J. W. Lindeberg. 



la quantité p, qui figure dans E F et E G , désignant le coefficient angulaire de l'extrémale du faisceau. 



On remarquera que, si s tend vers zéro, la seconde intégrale, qui est indépendante de c, 

 tend aussi vers zéro. 



Fixons la quantité q en fonction de « de telle manière qu'elle tende vers zéro avec s et 

 que le domaine S e soit couvert tout entier par le faisceau formé par les extrémales considé- 

 rées, dès que s est suffisamment petit. Désignons, de plus, par 



( E F dx et j E a dx 



Je Je 



les intégrales, prises suivant c, des fonctions E F et E G où les arguments sont fixés comme 

 il suit: y' est le coefficient angulaire de la tangente de la courbe c au point dont l'abscisse 

 est x, tandis que y et p ont- les valeurs y (x) et y ' (x). 



Si, q' gardant une valeur fixe, on fait tendre s, et par conséquent q vers zéro, on con- 

 clut sans peine de l'égalité ci-dessus qu'on a, pour les courbes c faisant partie de T 



iu + bAv = aC E F dx + bÇ E G dx + { q > 



Je Je 



aAi 



Je Je 



Ia b 

 a h' 



=£ et assez voisins des nom- 



bres a et & pour que la condition de Legendre relative à la fonction a' F -\-b' G soit encore 

 remplie sur e . On a alors une égalité analogue 



a' Au -f &'At- = a' j E F dx + 6' f E G dx -f ; q ) • 



Je Je 



Résolvant ces deux équations par rapport à A« et Av il vient 



Am =\ E f dx + ! o ) 

 (14) Jc ' 



Av = f E G dx -f ! q ; • 



Ces égalités contiennent le lemme que nous voulions établir. 



17. Désignons par q ' une valeur fixe de q' et envisageons d'abord les courbes de l'en- 

 semble T , pour lesquelles la somme Au 2 + Av 2 ne surpasse pas une certaine limite ? 2 - 

 La fonction E (a b) restant positive dans le domaine (12), d'après la remarque faite au n° 15, 

 on voit sans peine que les considérations du n° 7 seront encore applicables à ces courbes si 

 q et % sont suffisamment petits. Il en résulte que, si ces nombres sont assez petits, les 

 courbes en question donnent à la fonction Q>(u, v) des valeurs plus grandes que <P(« ,» ). 



Soit maintenant c une courbe de l'ensemble T^, pour laquelle Au 2 + Av 2 > ij u 2 . On a, 

 d'après les égalités (14), 



«> (w + Au, v + Ai) = d) | u + f E t dx + ; q ; , v + f E G dx + { Q ) J 



Tom. XLIV. 



