Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 

 et nous avons donc à prouver que. si o est suffisamment petit, le point 



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(15) 



u = u + \ E F dx + [q ;, v = v + Ç E e dx + (?) 



•Je Vr 



appartient à la partie du plan des u, v où ®(u. v) > </>(«<„, v ). 



Désignons par e x l'arc de la courbe c compris entre x u y t et le point dont l'abscisse 

 est x, et considérons la courbe s décrite par le point 



« = «« + | 



E„dx, 



E, . dx. 



lorsque x croît de ce, à x 2 , les arguments des fonctions E F et E G étant fixés comme au n° 

 précédent. Les dérivées de ü et de s par rapport à x étant égales à ^ et S e , la direction 

 dans laquelle se meut ce point est à chaque instant parallèle à un rayon issu de m , v o et 

 appartenant au domaine S. Il en résulte que la courbe s aboutit nécessairement en un 

 point de S. De plus, en vertu des égalités (1-i) et de notre hypothèse Am 2 -f- &v 2 > få, ce 

 point est extérieur à un certain cercle (m — a ) 2 + (v — v ) 2 = få (0 < tj x < få si q est in- 

 férieur à un certain nombre positif q . 



Considérons d'abord le cas où les rayons-limites t x et t 2 font partie tous les deux du 

 domaine S. Dans ce cas la démonstration s'achève immédiatement. En effet, les points 



(16) 



= W + j E F .ilr. 



°' + L 



E r .dx 



correspondant aux courbes c de T^, (q < q ) pour lesquelles Au 2 -f- Av 2 > få sont tous situés 

 à l'intérieur ou sur la frontière du domaine S limité par les rayons i, et t 2 , la circonférence 

 (w — u ) 2 + (v — v ) 2 — få et la circonférence (u — u ) 2 + (v — v a ) 2 = (M (as, — x x )) 2 , où M dé- 

 signe le maximum de l'expression }/E F 2 -f- E 2 dans le domaine 



Xi-<x<Lx 2 , y = y (x), | y' — y ' (x) | ^ ç ', p = y '(x). 



Puisque, en vertu de nos hypothèses, l'inégalité <£(«, v) > <Ï>(m ,i> ) est vérifiée dans le do- 

 maine S, limites comprises, le point (15) se trouve donc aussi dans la partie du plan où cette 

 inégalité a lieu, pourvu que q soit suffisamment petit. 



Si les rayons ^ et t 2 , ou l'un d'eux, ne font pas partie de S, on arrive encore à la même 

 conclusion en raisonnant comme il suit. 



Fixons d'abord un nombre positif q " tel qu'on ait 



VE F 2 + E G 2 <1 



dans le domaine 



N:o 5. 





x^x^xz, y = y (x), \ y' — y ' (x) \ < ç ", p = y ' (x), 



