20 J. W. Lindeberg. 



et désignons par (s) l'ensemble des arcs de la courbe s qui correspondent aux arcs de c sur 

 lesquels est vérifiée cette inégalité; il est clair que la longueur totale des arcs (s) est infé- 



neur a jf- » 



Désignons d'autre, part par m l'angle formé par le rayon t t et le rayon issu de u , v 

 qui passe par le point u + E F , v -\- E 6 . Cet angle .est une fonction continue des variables 

 x i Vi y', P dans le domaine # 



x x £ x £ x 2 , y = y (x), q " < | y' — y ' (x) \ < q ', p = y ' (x) 



et atteint" donc dans ce domaine une valeur minima w - De plus, si nous admettons que le 

 rayon t x ne fait pas partie de S, w sera évidemment différent de zéro. 



Considérons maintenant la courbe s. La direction de cette courbe fait avec t, un angle qui 

 est partout > «a, en exceptant peut-être certains segments appartenant aux arcs (s). Puisque 

 l'extrémité de la courbe s est extérieure au cercle (u — u f + (v — v ) 2 = få, et que la longueur 



totale des arcs (s) et inférieure à -^, il en résulte que, si t x ne fait pas partie de S, on peut 



substituer à la place de t lt comme frontière du domaine 8 où se trouve l'extrémité de la 

 courbe s, un rayon intérieur à S. Comme la même remarque s'applique à L, on en conclut 

 que, si g est suffisamment petit, le point (15) se trouve à l'intérieur de S, de sorte qu'on a 

 bien <2> (u, v) > </> (?< , v ). 



Par ce qui précède nous avons établi que la courbe c donne à d> (u, v) un minimum par 

 rapport aux courbes T ,, si q est suffisamment petit. Comme ç ' peut avoir une valeur 

 Jnie quelconque, il est donc démontré que la condition formulée au n° 15 est suffisante pour 

 le minimum fort, ce terme étant pris dans le sens indiqué plus haut. 



Au n° 15 nous avons fait remarquer que, si l'aire S est le demi-plan limité par la tan- 

 gente de r au point u , v , notre condition se réduit à celle relative au signe de la fonction 

 E, ... Dans ce cas la différence entre la condition nécessaire et la condition suffisante est 



(a, b) 



donc la même que dans les problèmes ordinaires. Mais, si S ne se confond pas avec le demi- 

 plan en question, notre condition est moins précise, car si, pour un système de valeurs de 

 x, y, y', P appartenant au domaine (12), le point u -f- E F , v -j- E e est extérieur à S, il ne 

 s'ensuit pas nécessairement que le minimum fort cesse d'avoir lieu. 



18. En terminant, nous allons appliquer notre théorie aux problèmes traités par M. 

 Bolza. 



Dans le premier problème il s'agit du maximum du rapport 



/ ;/ dx u 



JVl+y'*dx v 



Les extrémales sont ici des arcs de cercles. Supposons qu'on ait trouvé un arc de cercle 

 joignant les points #1,2/1 et x 2 ,y 2 , et satisfaisant à la condition (1). D'après notre théorie 

 ce cercle doit être une extrémale de l'intégrale v u — m v, et la condition de Legendre exige 



Tom. XLIV. 



