Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies. 21 



que K a soit, positif. La courbe /"se réduit à la droite v u — « v = 0, ce qui est un cas 

 tout à fait spécial. <>n en conclut que le foyer conjugué du problème se confond avec le 

 foyer conjugué' relatif au problème du maximum libre de l'intégrale v u — u v, et que la 

 condition du n" 15 se réduit à la condition de Weierstrass relative à cette même intégrale. 

 Le problème que nous considérons est donc, dès qu'on a trouvé l'extrémale satisfaisant à (1), 

 entièrement équivalent au problème du maximum libre de v u — u v. 



Un peut d'ailleurs voir cela directement, car, v étant toujours positif, la condition 



U ^ M» 



V w„ 



est équivalente à, la condition v<,u — u v <C0. 



Dans le second problème de M. Bolza on cherche lit minimum du produit 



| ydx- | y i +n'-iix 



Les extrémales sont toujours des arcs de cercles. La courbe cherchée, qui doit vérifier la 

 condition (1), est en même temps une extrémale de l'intégrale v u + u v, et, en vertu de la 

 condition de Legendre, on doit avoir m >0. La courbe /"est ici l'hyperbole uv = u v , et, 

 comme la courbure de cette hyperbole est négative au point w , ?; , le foyer conjugué du 

 point », , j/j est situé entre ce point et le foyer conjugué relatif au problème du maximum 

 libre de v u + u v. Le domaine S est limité par les rayons menés du point u„. v parallèle- 

 ment aux directions positives des axes des coordonnées, et ces rayons font partie de S. La 

 fonction E F étant identiquement nulle, tandis que la fonction E G est positive et non nulle 

 dans le domaine (12), les points (13) seront les points de la droite u = u d où «>u . La 

 condition du n" 15 est donc remplie, et l'on voit que, si les conditions du minimum faible 

 sont remplies, il y aura aussi minimum fort. 



N:o 5. 



