Deuxième note supplémentaire sur les polygones au plus petit 

 périmètre circoncrits à une ellipse. 



Dans deux notes précédentes i) j'ai développé quelques propriétés des polygones au 

 plus petit périmètre circoncrits à une ellipse. J'y ai démontré, en particulier, qu'il existe 

 une infinité du tels polygones d'un oi'dre déterminé, c'est à dire d'un même nombre de cô- 

 tés, le point de contact d'un des côtés pouvant être choisi à volonté, et que la longueur du 

 périmètre est la même pour tous ces polygones 



Or, il y a peu de temps, M. Schwarz, dans un entretien que j'ai eu occasion d'avoir 

 avec lui sur ce sujet, vient d'appeler l'attention sur les propriétés analogues que présentent 

 les polygones qu'on peut, dans certains cas, construire entre deux ellipses homofocales, de 

 manière qu'ils soient circoncrits à l'une et en même temps inscrits dans l'autre. On sait, en 

 effet, que si deux ellipses homofocales admettent la construction d'un tel polygone, celui-ci 

 pourra, quel qu'en soit le nombre des côtés, se déformer continûment, en restant toujours 

 circonscrit à l'une des eUipses, pendant que ses sommets se meuvent sur l'autre ^); et dès lors 

 il est facile de voir que, pendant cette déformation du polygone, la longueur totale de son 

 périmètre restera constante '). 



Pour décider s'il y a là une simple analogie entre deux ordres de faits différents, ou 

 si ces faits mêmes ne sont pas ]ilutôt identiques, il faut reprendre la théorie de nos polygones 

 au plus petit périmètre afin d'examiner, quels sont les lieux géométriques de leurs sommets. 

 C'est ce que nous allons faire dans la présente note. 



Soit A un des angles du polygone H circonscrit à l'ellipse E, dont nous désignons 

 les demi-axes par a et & et l'excentricité par e, et A' l'angle correspondant du polygone //' 

 circonscrit au cercle K dont l'ellipse E est la projection orthogonale. Nous nous proposons 



*) Insérées dans les Acta Societatis Scientiarum Fennicae, la première clans le tome XXXI sous le 

 n:o 4, la seconde, supplémentaire, dans le tome XXXII, sous le n:o 5. 



'^) Ceci n'est qu'un cas spécial d'un théorème plus général qui établit que, si un polygone est cir- 

 conscrit à une ellipse et que tous ses sommets moins un se meuvent suivant des ellipses homofocales, ce 

 dernier sommet décrira aussi une pareille ellipse. Voir Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie der Kegel- 

 schnitte. Leipzig 1887, page 432. 



') Cela résulte, en effet, comme l'a fait remarquer M. Schv?-aez, du théorème de Graves, sui- 

 vant lequel l'excès de la somme des deux tangentes, menées d'une ellipse donnée à une ellipse homofocale, 

 sur l'arc compris entre les points de contact est constant- Loc. cit. page 431. 



