Polygones au plus petit périmètre circonscrits à une ellipse. 5 



on obtient ainsi la relation suivante 



. , ]/! — e« sin A' 



(3) sni A - , , 



|/1 - e^ cos2 (p yi — e2 cos* q)' 



d'où l'on tire 



2 . _ 1 - e^ (cos'^ y -|- cos^ q>') + e* cos^ <p cos" y' — (1 — e-) sin^ (y' — y ) 



~ (1 — e^ cos" (p) (1 — e" cos" cp') 



En développant le numérateur de cette expression, on trouve qu'il est le carré exact du 

 binôme sin ip sin cp' -\- (1 — e") cos (p cos (p'; on aura donc 



, . sin m sin m + (1 - e") cos œ cos œ' -^ cos 4' + e" cos cp cos (jd' 



4 cos A =-{- ' = — : — ■ ^ — = 4- -^ — y-^ . 



~" yi — e'' cos" 9 y 1 — e" cos" çi' K 1 — e" cos"'' y K 1 — e" cos" qo' 



Dans cette formule c'est le signe inférieur qui est seul admissible. On s'en assure facilement 

 en observant que, si e tend vers zéro, cos A doit tendre vers cos A', quels que soient les 

 angles (p et ç)'. On aura donc 



a" sin ç) sin qp' + Ifl co& (p cos ip' = — a" Yl — e" cos" qo | 1 - e" cos" qp' cos ^4. 



= — ab sin A' cot 4. 



Portant cette valeur dans l'expression de P, on lui fait prendre la forme 



A' 

 P — — 2 ah coi A coi ^. 



Ci 



L'équation (2) devient par là 



¥-^2 ab cot A cot ^ /t" — a-' &" cot" ^ = O 



et donne pour h- la seule valeur positive 



4 A' 



(5) A" = aöcot-^- cot-^. 



Or, nous avons démontré (dans la première note, page 6) que, dans un polygone au plus petit 

 périmètre circonscrit à une ellipse, les angles A, B, C, . . . sont liés aux angles A', B', C", . . . 

 du polygone correspondant circonscrit au cercle par les relations 



,A A' ,B B' ,C C' 



cot 75- cot -^ — cot ;r COt -^ = COt ^r COt ~ - = . . . M 



■) Cela résulte, en effet, des conditions (3) (p. 5 de la note citée), en observant que 



Å} B' 



«2 : ;?! = a : /3 = COt -^ : Cot -^. 



N:o 3. 



