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Le paramètre h aura donc la même valeur pour tous les sommets du polygone ABC . . ., 

 d'où il résulte que celui-ci est nécessairement inscrit dans une ellipse qui est horaofocale 

 avec l'ellipse donnée, les carrés de ses demi-axes étant a? -\- K^ et h"^ -^- h?. Mais dès lors il 

 existe, comme nous l'avons vu, une infinité de polygones du même nombre de côtés qui sont 

 également inscrits dans l'une et circoncrits à l'autre de ces ellipses, et comme leur périmètre, 

 d'après le théorème de Graves avec l'extension que lui a donnée M. Schwarz, est constant 

 et égal à celui du polygone ABC . . ., ils constituent évidemment l'ensemble de tous les 

 polygones au plus petit périmètre de l'ordre en question qui se laissent cii-conscrire à l'ellipse 

 donnée. Ainsi ces derniers polygones se trouvent effectivement être identiques avec ceux 

 auxquels se rapporte le théorème dont il s'agit. 



Le paramètre h varie, bien entendu, avec le nombi-e n des côtés du polygone, de 

 sorte qu'à chaque valeur de n>3 correspond une ellipse homofocale particulière. Ayant 

 construit cette ellipse, on peut tracer tous les polygones au périmètre minimum de l'ordre 

 correspondant. Étant donné le noml)re n, le problème revient donc à calculer h d'après la 

 formule (5). Pour rendre celle-ci immédiatement applicable aux cas particuliers, il est pour- 

 tant nécessaire de la transformer préalablement, en y introduisant, au lieu de A et A', les 

 coordonnées cycliques q> et q)'. Des équations (3) et (4) on déduit facilement 



A _ y\ — e^ cos' (p y\ — e^ cos^ y' — cos (y' — y) + e^ co^j y coj-j y' 

 ^^^^" ; sin {q>' - y) VT^=^ 



On a d'ailleurs 



A' , (p' — <p 



L'équation (5) pourra donc s'écrire 



/,2 _ 2 ^1 "" ^^ ^'^^^ (pVl — e^ cos^ y' — cos ((jp' — y) -f e^ cos ep cosj/ 



^^* ^* -^* r+ cos {if' - ip) '■ ■ 



Ici if et y' sont les coordonnées angulaires qui déterminent les points de contact avec le 

 cercle K de deux côtés successifs quelconques du polygone //'; A' est l'angle compris entre 

 ces côtés et A l'angle correspondant du polygone //. Nous allons appliquer cette formule à 

 quelques polygones spéciaux, en nous bornant toujours au cas simple où la figure est symé- 

 trique par rapport à l'un des axes de l'ellipse, ce qu'on peut faire, comme nous l'avons vu, 

 sans préjudice pour la généralité des résultats. 



L Considérons d'abord le triangle isocèle dont la base est parallèle au grand axe de 

 .l'ellipse, et soit A l'angle compris entre les deux autres côtés. On aura actuellement 

 (f' = 180° — cp, et la formule (6) se réduira à 



„1 — 2 e^ cos' cp 4- cos 2 w „ .^ „ , ., 



(7) /i2 = «2 = ^—f ^ = «2(1 — e') cot- (p. 



^' 1 — cos 2 y 



Soient a^ et h^ les demi-axes de l'elhpse homofocale E^ passant par le sommet A, en 

 sorte que «i' = a' + /i' et h^'^ = è' + A'; on trouve 



Tom. XXXIII. 



