Polygones au plus petit périmètre circoncrifs à wie ellipse. 



d'où 



(8) sin^^=«¥^l- 



^ ai' — a^ e^ 



Or, nous avons trouvé précédemment (dans notre première note, page 10, (8)) que, dans le 

 cas du minimum du périmètre, l'angle cp doit satisfaire à la condition 



(9) e^ sin* y -I- 1 _ e2 = 2 sin y (e2 sin^ y + 1 — e^). 



Lorsqu'on y substitue la valeur de sin y, tirée de l'équation (8), et qu'on prend a pour 

 unité linéaire, on ol.ttient, après quelques réductions, 



ai» — 4 ai" + 6 e^ a/ — 4 e* ai^ + e* = 0. 



Ce résultat peut être simplifié. En le mettant sous la forme 



a,8 — 2 e2 rt,* + e+ = 4 fli« — 8 e^ «i* + 4 e* «i*, 



on peut extraire la racine carrée de chacun des deux membres et Ton trouve ainsi l'équation 



finale 



a,* — 2 ai» + 2 e« «1 — e2 = 0, 



(|ui peut servir pour calculer le demi-axe ai de l'ellipse E^, dans laquelle seront inscrits tous 

 les triangles au périmètre minimum dont il s'agit. 



Quant à l'exentricité e^ de la nouvelle ellipse, elle est liée à celle de l'ellipse donnée 

 par la relation ') 



e,* — 2ee,3-(-2eei - e^ = 0, 



qui, étant résolue par rapport à e, donnerait 



e = ei (1 - ei^ + |1 - e,* + e,*). 



II. Parmi les tétragones au plus petit périmètre le plus simple est le rectangle dont 

 les côtés sont parallèles aux axes de l'ellipse. La figure correspondante circonscrite au cercle 

 K est de même rectangulaire. On aura donc, pour un angle quelconque A de cette figure, 

 A = A' = 90° et la formule (5) donne immédiatement 



A2 = ab. 



L'ellipse liomofocale qui passe par les sommets de tous les tétragones en question, aura donc 

 pour demi-axes 



a, = -l/aia + b), b,^}/b{a + b), 



') On la trouve en remplaçant n, par — dans l'équation précédente. 



N:o 3. 



