4: H.j. Tallqvist. 



P, (cos Ö) = 3^ (429 cos' e - 693 cos^ 6 + 315 cos^ 0-35 cos e) , 



Pa (cos Ö) = 4^ (6435 coss 9 - 12012 cos« e + 6930 cos* e - 1260 cos^ 6 + 35) . 



Wenn man nach Cosinus der Vielfachen von ordnet, wo erhält man folgende Formeln, 

 welche der Rechnung zu Grunde gelegt wurden: 



Pi (cos 0) = cos , 



P2 (cos 0) = ^ (3 cos 20 + 1), 



P3 (cos 0) = i (5 cos 30 + 3 cos 0) , 



o 



P4 (cos 0) = ^ (35 cos 40 + 20 cos 20 + 9) , 



Pj (cos 0) = ^5 (63 cos 50 + 35 cos 30 + 30 cos 0) , 



Pb (cos e) = 5T2 ^^^^ ^^^ ^^ + ^^^ ^°^ *^ + ^^^ cos 20 + 50) , 



P, (cos 0) = -^7 (*29 cos 70 + 231 cos 50 + 189 cos 30 + 175 cos 0) , 

 10^4 



Pg (cos 0) = :r^ (6485 cos 80 + 3432 cos 60 + 2772 cos 40 + 2520 cos 20 + 1225) . 

 1doo4 



Die Rechnungen wurden in der Weise controlirt, dass man sie in genau derselben Weise 

 direct für Summen von je fünf nach einander folgenden Functionswerten ausführte. Zur Sicher- 

 stellung des Druckes ist diese Contrôle noch einmal im letzten Correcturbogen vorgenommen 

 worden, jetzt aber für Summen von je sechs nach einander folgenden Functionswerten. 



Die Functionen P^ (cos 0) besitzen bekanntlich eine Recurslonsformel 



(n+ 1) P ^ j (cos 0) = (2n + 1) cos • P„ (cos e)-nP^_^ (cos 0) , 



die Anwendung dieser Gleichung ist aber hier etwas unbequem wegen der Multiplication im 

 ersten Gliede der rechten Seite. Man kann sie benutzen z. B. wenn man einzelne Werte von 

 P9 oder Pjo nötig hat. 



Was die Werte von P(cosö) für 90°<e<1.80° betrifft, so hat man bekanntlich 

 P„ (cos (180° - 0)) = P, (cos 0) oder = — P, (cos 0) , je nachdem die Zahl n gerade oder ungerade 

 ist. In den Tabellen ist durch ein * angedeutet worden, wann das Zeichen umgekehrt 

 werden muss. 



Eine im Druck befindliche Arbeit des Verfassers i) wird vierstellige Tafeln der Functionen 

 P^(cos0) enthalten; ausserdem ist eine sechsstellige Ausgabe in Zukunft beabsichtigt, wo 

 die Argumente dichter als von Grad zu Grad fortschreitend gewählt sind. Hier mag noch auf 

 die vom Verf. neulich ausgegebenen Tafeln der Functionen P, (x) und ihrer abgeleiteten 

 Functionen Plf'ix) hingewiesen werden^). 



') Grrundema af teorin för sferiska funktioner etc. 



2) In Acta Societatis Scientiarum Fennicae, Tom. XXXU. N:o 6. Helsingfors 1904. 



T. XXXIII. 



