Mechanische Arbeit in der Ebene. 



1. Auf einen Punkt C mit den Coordinaten x, y m Bezug auf y^ 



dass X, Y und ihre ersten Ableitungen 



in der 



I 

 I 

 I 

 I 

 I 

 i 

 Ö' 



reclitwinklige Axen wirke eine Kraft P mit den Componenten X und 

 Y parallel denselben Axen. Es wird angenommen, dass X und Y nur 

 von den Coordinaten x und ?/, nicht aber von ihren Ableitungen in 

 Bezug auf die Zeit abhängen. Ferner werde zunächst vorausgesetzt, 



dX^ d^ öY^ dY 

 dx ' dy ^ dx ^ dy 

 ganzen endhchen Ebene stetig seien. 



Die elementare Arbeit der Kraft P bei der Bewegung ihres Angriffspunktes um das 

 Stück ds in einer Richtung, welche mit der Kraft den Winkel « bildet, ist 



(1) dW= Pco&ads = Xdx-\-Ydy 



und die totale Arbeit bei einem endlichen Wege von A bis B 



Fig. 1. 



(2) 



W- 



- < 



(Xdx + Ydy). 



Die Grösse W hängt im allgemeinen nicht nur von der Lage der Endpunkte A und B, sondern 

 auch von dem durchlaufenen Wege selbst ab; bleibt A mit den Coordinaten x^, y o fest, 

 während B mit den Coordinaten x, y beweghch ist, so ist W keine Function der beiden 

 Coordinaten x und y als von einander unabhängig, kürzer keine Function der Lage des Punktes 

 B allein. Eine Ausnahme macht jedoch der in der mathematischen Physik überhaupt wich- 

 tigste Fall, in welchem Xdx-\-Ydy ein vollständiges Differential ist, d. h. wenn die Bedingung 



(3) 



erfüllt ist. Man hat dann bekanntlich 



d_X 



dy ' 



dY 



dx 



(4) 

 (5) 

 (6) 



dF=Xdx + Ydy . 

 F= r X{x,y)dx+ CY{a,y)dy+0, 



Ja J b 



W=F{x,y)-F{x,,îjo). 



