Hj. Tallqvist. 



Hier sind a und b beliebige Constante; die Function F enthält eine unbestimmte additive 

 Constante, die aber keinen Einfluss auf die Arbeit W hat. Würde man verlangen, dass für 

 x = x„ , y = yo, F gleich Null sei, so hätte man einfach 



X {x , ij) dx + Y{xo , y) dy , 

 W=F{x,y). 



Die Function F , welche ja auch die Kräftefunction genannt wird, ist in dem jetzt betrachteten 

 Falle in der ganzen Ebene eindeutig, abgesehen natürlich von der Constanten C, der man sich 

 einen bestimmten Wert beigelegt zu denken hat. Denn die Function F kann, wie die Func- 

 tionentheorie lehrt, in eine Potenzreihe entwickelt werden, welche in der ganzen Ebene con- 

 vergirt. 



2. Es fragt sich nun, ob unter Beibehaltung der über X und Y getroffenen Voraus- 

 setzungen die Bedingung (3) die allgemeinste sei, welche die Arbeit zu einer Function nur der 

 Lage der Endpunkte des Weges und von dem durchlaufenen Wege selbst unabhängig macht. 

 Man bemerkt zuerst, dass die Arbeit unter allen Umständen bei der Bewegung von A nach 

 B längs eines bestimmten Weges den entgegengesetzten Wert bekommt wie bei der Bewe- 

 gung von B nach A längs desselben Weges, was so angegeben werde: 



(A) J( 



(•B) 



Soll nun die Arbeit bei der Bewegung von A nach B längs zwei verschiedener Wege (1) und 

 (2) denselben Wert bekommen, so muss also 



Fig. 2. 



oder noch 



(8) 



(A) J I.A) ' • 

 (1) (2) 



/■(« fiB) 



- =0, 



(1) (2) 



/>B MA) 



+ =0. 

 Ja J (Li 



(1) 



Das um ein behebiges, geschlossenes Gebiet rings herum genommene Integral muss gleich Null 

 sein. Ist dies umgekehrt der Fall, so ist die Arbeit von dem Wege unabhängig. 



Die Arbeit wird durch ein Linienintegral ausgedrückt. Es werde jetzt ein auf das 

 geschlossene Gebiet O ausgedehntes Flächenintegral betrachtet, nämlich 





d_X 

 dy 



dxdy . 



T. XXXIU. 



