üeber Arbeitsgrössen in der mathematischen Physik. 5 



Durch partielle Integration mit x als constant ergiebt sich für das in der Figur dargestellte 

 Gebiet ') 



(S) 12, (11 ^ 



wo das Zeichen -Q die Umlaufsrichtung bezeichnet. Wird sie wie in der Figur gewählt, so ist 



(9) ^Xdx = - ^j^ -^dxdy. 



Man zeigt in genau derselben Weise, dass 



(10) JYdx=jj^^dxdy. 



Durch Addition von (9) und (10) erhält man jetzt 



(11) fiXdx + Yäy) ^Jj{^^-'J^)dxdy. 



O («) 



Damit das Randintegral links für ein beliebiges Gebiet (t Null werde, muss in der ganzen 



Ebene identisch 



äX^_dY 



dy dx=^- 



Dies ist aber die Bedingung, dass Xdx + Ydy ein vollständiges Differential sei. 



Der obige Beweis setzt voraus, dass die Grössen X, F sowie die Ableitungen -r- und 



-^ in der ganzen Ebene stetig seien. Der Einfachheit wegen ist nur der Fall betrachtet 

 öx 



worden, in welchem die Parallelen zur x- und y-Axe den Rand dçs Gebietes G nur zweimal 



schneiden. Der Beweis wird in bekannter Weise auf diejenigen Fälle erweitert, in welchen 



ein mehrmahges Schneiden stattfindet. 



Die Gl. (6) enthält den bekannten Satz, dass die Arbeit gleich der Zunahme der Kräfte- 

 function [oder gleich der Abnahme der entgegengesetzten Grösse -{F+C), der sog. poten- 

 tiellen Energie] ist. 



Das einfachste Beispiel des obigen bietet die Schwere dar. Mit der F-Axe nach oben ist 

 X = 0, Y= — mg, die potentielle Energie —mgy+C und die Arbeit mg mal die verticale 

 Fallhöhe. 



3. Es werde jetzt der Fall betrachtet, dass X , Y oder ihre Ableitungen in einem ein- 

 zelnen Punkte die Bedingung der Stetigkeit oder die Beziehung 



') Wir machen von dem sehr hequemen und überhaupt zu wenig benutzten Substitutionszeichen Ge- 



I* 

 brauch. Es bedeutet | f(x) = f{b)-f(a). Im Text sind die Grenzen der Substitutionen v\'ie die der Integra- 



tionen oft durch die Indices bezeichnet. 

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